Hỏi đáp Số chính phương

Giải:Gọi 2n+1=a2,3n+1=b2(a,b∈N,10≤n≤99)

10≤n≤99⇒21≤2n+1≤199

⇒21≤a2≤199

Mà 2n + 1 lẻ

⇒2n+1=a2∈{25;49;81;121;169}

⇒n∈{12;24;40;60;84}

⇒3n+1∈{37;73;121;181;253}

Mà 3n + 1 là số chính phương

⇒3n+1=121⇒n=40

Vậy n = 40

nhớ cho k nhé (tham khảo thôi đừng chép)

\(\text{ta có n/x sau: số chính phương lẻ thì chia 4 dư 1}\)

\(\text{Nếu a chẵn thì: }a^2⋮4\text{ mà }a^2+2022\text{ chẵn và là số chính phương nên:}\)

\(a^2+2022⋮4\Rightarrow2022⋮4\left(\text{vô lí}\right)\)

tương tự với a lẻ thì a^2+2022 chia 4 dư 1 => a^2 chia 4 dư 1 (vô lí)

phương trình  vô nghiệm

Bài 1:

a) Đặt \(6x+7=y\)

\(PT\Leftrightarrow y^2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=72\)

\(\Leftrightarrow y^4-y^2-72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0\)

Mà \(y^2+8>0\left(\forall y\right)\)

\(\Rightarrow y^2-9=0\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow\left(6x+4\right)\left(6x+10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+4=0\\6x+10=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)

b) đk: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)

\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)

Bài 2 không tiện vẽ hình nên thôi nhờ godd khác:)

Bài 3:

Ta có:

\(a_n=1+2+3+...+n\)

\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=2\cdot\left(1+2+3+...+n\right)+\left(n+1\right)\)

\(=2\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\)

\(=n^2+n+n+1=\left(n+1\right)^2\)

Là SCP => đpcm

Bài 1.

a) ( 6x + 8 )( 6x + 6 )( 6x + 7 )² = 72

Đặt t = 6x + 7

pt <=> ( t + 1 )( t - 1 )t² = 72

    <=> ( t² - 1 )t² - 72 = 0

    <=> t⁴ - t² - 72 = 0

Đặt a = t² ( a ≥ 0 )

pt <=> a² - a - 72 = 0

    <=> a² + 8a - 9a - 72 = 0

    <=> a( a + 8 ) - 9( a + 8 ) = 0

    <=> ( a + 8 )( a - 9 ) = 0

    <=> \(\orbr{\begin{cases}a+8=0\\a-9=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-8\left(loai\right)\\a=9\left(nhan\right)\end{cases}}\)

=> t² = 9 => t = ±3

=> \(\orbr{\begin{cases}6x+7=3\\6x+7=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)

b) \(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=18\)

<=> \(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

ĐK : x ≠ -4 ; x ≠ -5 ; x ≠ -6 ; x ≠ -7

<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

<=> \(\frac{x+7}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}-\frac{x+4}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

<=> \(\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

<=> x² + 11x + 28 = 54

<=> x² + 11x + 28 - 54 = 0

<=> x² + 11x - 26 = 0

<=> x² - 2x + 13x - 26 = 0

<=> x( x - 2 ) + 13( x - 2 ) = 0

<=> ( x - 2 )( x + 13 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+13=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-13\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vì \(x^2+x+6\) là 1 số chính phương nên đặt:

\(x^2+x+6=a^2\left(a\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+23=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4a^2=-23\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1-2a\right)\left(2x+1+2a\right)=-23=1.\left(-23\right)=\left(-1\right).23\)

Ta xét các TH sau:

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=1\\2x+1+2a=-23\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=-22\Rightarrow x=-6\Rightarrow a=-6\)(thỏa mãn)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-23\\2x+1+2a=1\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=-22\Rightarrow x=-6\Rightarrow a=6\) (thỏa mãn)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-1\\2x+1+2a=23\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=22\Rightarrow x=5\Rightarrow a=6\) (thỏa mãn)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=23\\2x+1+2a=-1\end{cases}}\Leftrightarrow4x+2=22\Rightarrow x=5\Rightarrow a=-6\) (thỏa mãn)

Vậy \(x\in\left\{5;-6\right\}\)

ĐK : x ∈ Q

Đặt x² + x + 6 = k² ( k ∈ N )

=> 4( x² + x + 6 ) = 4k²

=> 4x² + 4x + 24 = 4k²

=> ( 4x² + 4x + 1 ) + 23 = 4k²

=> ( 2x + 1 )² + 23 = 4k²

=> 4k² - ( 2x + 1 )² - 23 = 0

=> ( 2k )² - ( 2x + 1 )² = 23

=> ( 2k - 2x - 1 )( 2k + 2x + 1 ) = 23

Xét các trường hợp : 

1. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=1\\2k+2x+1=23\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\k=6\end{cases}}\)( tm )

2. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=-1\\2k+2x+1=-23\end{cases}}\Leftrightarrow x=k=-6\)( tm )

3. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=23\\2k+2x+1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-6\\k=6\end{cases}}\)( tm )

4. \(\hept{\begin{cases}2k-2x-1=-23\\2k+2x+1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\k=-6\end{cases}}\)( tm )

=> x ∈ { 5 ; -6 } thì x² + x + 6 là một số chính phương

mình nhầm ĐK của k ; k ∈ Z nhé :v 

Ta có: \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab+2a-2b=4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b+1\right)^2=4a\)(*)

Do a,b nguyên nên \(\left(a-b+1\right)^2\)là số chính phương. Suy ra a là số chính phương a=x² (x nguyên)

Khi đó (*) trở thành : \(\left(x^2-b+1\right)^2=4x^2\Rightarrow x^2-b+1=\pm2x\Leftrightarrow b=\left(x\mp1\right)^2\)

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp.

\(A=x^4+x^3+1\) là số chính phương <=> \(k^2A,k\inℕ^∗\)cũng là số chính phương

Ở đây ta xét k=2\(\Rightarrow4A=4x^4+4x^3+4\)

Nếu \(x=1\Rightarrow4A=12\)không là số chinh phương

Xét \(2\le x\Rightarrow4\le x^2\Rightarrow4A\le4x^4+4x^3+x^2=\left(2x^2+x\right)^2\)

Ý tưởng ở đây là chứng minh 4A nằm giữa 2 sô chính phương liên tiếp, từ đó ta ép 4A vào rất ít trường hợp khả thi

Vậy nên ta chứng minh \(4A>\left(2x^2+x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4>4x^4+x^2+1+4x^3-4x^2-2x\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+3>0\)Đúng với mọi số tự nhiên x

Vậy \(\left(2x^2+x-1\right)^2< 4A\le\left(2x^2+x\right)^2\)

Lúc này 4A là số chính phương khi và chỉ khi \(4A=\left(2x^2+x\right)^2\Leftrightarrow x=2\)

Bài này đề sửa thành: \(H=a+4b+1\) mk ms lm được ạ

Ta có: \(a=111...1\) (2020 chữ số 1)

\(a=111...1\cdot100...0+111...1\)

\(a=b.\left(9b+1\right)+b\)

Thay vào:

\(H=a+4b+1=b\left(9b+1\right)+b+4b+1=9b^2+6b+1=\left(3b+1\right)^2\)

=> đpcm

Bài làm:

Đặt \(a^2+a+43=x^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4a+172=4x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4a^2+4a+1\right)+171=4x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)^2+171=4x^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-\left(2a+1\right)^2=171\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2a-1\right)\left(2x+2a+1\right)=171=1.171=3.57=9.19\)

Ta thấy \(4x^2-\left(2a+1\right)^2=171\Rightarrow2x>2a+1\), mà x là số tự nhiên nên

=> \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1>0\\2x+2a+1>0\end{cases}}\Rightarrow2x-2a-1< 2x+2a+1\)

Ta xét các TH sau:

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=1\\2x+2a+1=171\end{cases}}\Rightarrow4a+2=170\Leftrightarrow4a=168\Rightarrow a=42\)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=3\\2x+2a+1=57\end{cases}\Rightarrow}4a+2=54\Leftrightarrow4a=52\Rightarrow a=13\)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=9\\2x+2a+1=19\end{cases}}\Rightarrow4a+2=10\Leftrightarrow4a=8\Rightarrow a=2\)

Vậy \(a\in\left\{2;13;42\right\}\) thì a²+a+43 là số chính phương

Ta có:\(A=1+19^{19}+93^{199}+1993^{1994}\)

Dễ thấy:

\(19^2\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow19^{18}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow19^{19}\equiv9\left(mod10\right)\)

\(93^4\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow93^{196}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow93^{199}\equiv7\left(mod10\right)\)

\(1993\equiv3\left(mod10\right)\Rightarrow1993^4\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow1993^{1992}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow1993^{1994}\equiv9\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow1+19^{19}+93^{199}+1993^{1994}\equiv1+9+7+9\equiv6\left(mod10\right)\)

Cho bạn 1 ý tưởng làm bài này nhưng không khả thi lắm :v

Bài làm:

Ta có: Đặt \(m=\left(a^2+b^2\right)\) \(\left(a,b\inℤ\right)\)

=> \(m^2=\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+2a^2b^2+b^4\)

\(=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Vì \(a,b\inℤ\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^2-b^2\right)^2\\\left(2ab\right)^2\end{cases}}\) là các số chính phương

=> m² là tổng của 2 số chính phương

=> đpcm

Với n=1 ta có T=9 là số chính phương

Với n=2 ta có T=29 không là số chính phương

Với n\(\ge\)3 ta có T là số chính phương lẻ do đó T\(\equiv\)1 (mod 4) (1 số chính phương lẻ chia 4 có số dư bằng 1)

Do \(n\ge3\)nên \(2^n\equiv0\left(mod4\right);4^n\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow3^n\equiv1\left(mod4\right)\)mà \(3^n=\left(4-1\right)^n\equiv\left(-1\right)^n\)=> n là số chẵn

đặt \(n=2k\left(k\inℤ^+\right)\)khi đó \(T=4^k+9^k+16^k=\left(3+1\right)^k+9^k+\left(15+1\right)^k\equiv2\left(mod3\right)\)

Nhưng 1 số chính phương không chia hết cho 3 sẽ có dạng (3m+1)² hoặc (3m-1)² với m là số nguyên khi chia 3 dư 1 (vì 1 số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1) vậy T không là số chính phương khi n\(\ge\)3

Vậy n=1 thì T là số chính phương

https://freefire.ff.garena.vn?code=a9c37560-de15-11ea-a3f0-552a419ccfac

Copy link lên gg rồi đăng nhập fb là sẽ đc k 

Không trả lời thì đừng viết. Làm mấy điều thiểu năng đấy không sợ bị chửi à

Vì tổng hai số chính phương bé hơn hoặc bằng 2017 và có chữ số hàng đơn vị là 7 nên tận cùng 2 số chính phương thứ nhất là chỉ có thể là 6 hoặc 1. Không mất tính tổng quát g/s số chính phương thứ nhất có chữ số hàng đơn vị là: 1

=> Số chính phương thứ nhất chỉ có thể là: \(1^2;9^2;11^2;19^2;21^2;29^2;31^2;39^2;41^2\)

Số chính phương thứ 2 sẽ có thể là: \(4^2;6^2;14^2;16^2;24^2;26^2;34^2;36^2;44^2\)

Số số nguyên dương bé nhất bằng số tổng tìm được từ 2 dãy trên: 

+) Nếu số thứ nhất là 1^2 thì số thứ 2 có 9 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 9^2 thì số thứ 2 có 9 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 11^2 thì số thứ 2 có 8 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 19^2 thì số thứ 2 có 8 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 21^2 thì số thứ 2 có 8 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là: 29^2 thì số thứ 2 có 7 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhấy là 31^2 thì số thứ 2 có 6 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là: 39^2 thì số thứ 2 có 4 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 41^2 thì số thứ 2 có 4 cách chọn 

Vậy số số nguyên dương cần tìm là: 9 + 9 + 8 + 8 + 8 +7 + 6 + 4 + 4 = 63 số 

a) ta có với n nguyên dương n²+n+1=n²+2n+1-n=(n+1)²-n

như vậy có n²<n²+n+1<n²+2n+1 hay n²<n²+n+1<(n+1)²

mà n² và (n+1)² là 2 số chính phương liên tiếp

=> n²+n+1 không là số chính phương với mọi n nguyên dương (đpcm)

Với p là số nguyên tố bạn nhé

Ta có a² là số chính phương nên các ước nguyên tố có số mũ chẵn nhưng p³ có số mũ lẻ nên a² bắt buộc phải chia hết cho p⁴

Ta có đpcm

Gọi số cần tìm là : \(ab\)

Theo bài ta có :

\(ab+ba=n^2\)

\(\Rightarrow10a+b+10b+a=n^2\)

\(\Rightarrow11\left(a+b\right)=n^2\)

\(\Rightarrow n^2⋮11\)

\(\Rightarrow n^2⋮11^2\)

\(\Rightarrow11\left(a+b\right)⋮11^2\)

\(\Rightarrow a+b=11\)

\(\Rightarrow a;b\in\left\{\left(9,2;\left(8,3\right);\left(7,4\right);\left(6,5\right);\left(5,6\right);\left(4,7\right);\left(3,8\right);\left(2,9\right)\right)\right\}\)

\(\Rightarrow ab\in\left\{92;83;74;65;47;38;29\right\}\)

22499....9100....09

=22.10^2n+1 + 4.10^2n +(10^n-2 -1).10^n+2 +1.10^n+1 +9

=220.10^2n+4.10^2n+10^2n-10^n+2+10^n+1 +9

=10^2n.225-10^n(100-10)+9

=(10^n.15)^2-90.10^n+9

=(10^n.15-3)^2

là n chữ số mak bạn

Vì   \(7^n+147\) là số chính phương 

=> Đặt: \(7^n+147\)  với a là số nguyên khi đó ta có: 

\(7^n+147=a^2\)không mất tính tổng quát g/s a nguyên dương

mà: n là số tự nhiên  nên \(7^n⋮7\); \(147=7^2.3⋮7\)=> \(a^2⋮7\)=> \(a⋮7\)=> \(a^2⋮7^2\)

=> \(7^n⋮7^2\)=> n \(\ge\)2

+) Với n = 2k khi đó: \(k\ge1\)

Ta có: \(7^{2k}+147=a^2\)

<=> \(\left(a-7^k\right)\left(a+7^k\right)=147\)

Vì: \(\hept{\begin{cases}0< a-7^k< a+7^k\\a-7^k;a+7^k⋮7\end{cases}}\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}a+7^k=21\\a-7^k=7\end{cases}}\Leftrightarrow7^k=7\Leftrightarrow k=1\)=> n = 2 

Thử lại thỏa mãn

+) Với n = 2k + 1  ta có: 

\(7^{2k+1}:4\) dư -1

\(147\): 4 dư  3

=> \(7^{2k+1}+147\) chia 4 dư 2 

mà số chính phương chia 4 bằng 0 hoặc 1 

=> Loại 

Vậy: n = 2