Hỏi đáp Số chính phương

Ta có: \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab+2a-2b=4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b+1\right)^2=4a\)(*)

Do a,b nguyên nên \(\left(a-b+1\right)^2\)là số chính phương. Suy ra a là số chính phương a=x² (x nguyên)

Khi đó (*) trở thành : \(\left(x^2-b+1\right)^2=4x^2\Rightarrow x^2-b+1=\pm2x\Leftrightarrow b=\left(x\mp1\right)^2\)

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp.

\(A=x^4+x^3+1\) là số chính phương <=> \(k^2A,k\inℕ^∗\)cũng là số chính phương

Ở đây ta xét k=2\(\Rightarrow4A=4x^4+4x^3+4\)

Nếu \(x=1\Rightarrow4A=12\)không là số chinh phương

Xét \(2\le x\Rightarrow4\le x^2\Rightarrow4A\le4x^4+4x^3+x^2=\left(2x^2+x\right)^2\)

Ý tưởng ở đây là chứng minh 4A nằm giữa 2 sô chính phương liên tiếp, từ đó ta ép 4A vào rất ít trường hợp khả thi

Vậy nên ta chứng minh \(4A>\left(2x^2+x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4>4x^4+x^2+1+4x^3-4x^2-2x\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+3>0\)Đúng với mọi số tự nhiên x

Vậy \(\left(2x^2+x-1\right)^2< 4A\le\left(2x^2+x\right)^2\)

Lúc này 4A là số chính phương khi và chỉ khi \(4A=\left(2x^2+x\right)^2\Leftrightarrow x=2\)

Bài này đề sửa thành: \(H=a+4b+1\) mk ms lm được ạ

Ta có: \(a=111...1\) (2020 chữ số 1)

\(a=111...1\cdot100...0+111...1\)

\(a=b.\left(9b+1\right)+b\)

Thay vào:

\(H=a+4b+1=b\left(9b+1\right)+b+4b+1=9b^2+6b+1=\left(3b+1\right)^2\)

=> đpcm

Bài làm:

Đặt \(a^2+a+43=x^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4a+172=4x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4a^2+4a+1\right)+171=4x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)^2+171=4x^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-\left(2a+1\right)^2=171\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2a-1\right)\left(2x+2a+1\right)=171=1.171=3.57=9.19\)

Ta thấy \(4x^2-\left(2a+1\right)^2=171\Rightarrow2x>2a+1\), mà x là số tự nhiên nên

=> \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1>0\\2x+2a+1>0\end{cases}}\Rightarrow2x-2a-1< 2x+2a+1\)

Ta xét các TH sau:

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=1\\2x+2a+1=171\end{cases}}\Rightarrow4a+2=170\Leftrightarrow4a=168\Rightarrow a=42\)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=3\\2x+2a+1=57\end{cases}\Rightarrow}4a+2=54\Leftrightarrow4a=52\Rightarrow a=13\)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=9\\2x+2a+1=19\end{cases}}\Rightarrow4a+2=10\Leftrightarrow4a=8\Rightarrow a=2\)

Vậy \(a\in\left\{2;13;42\right\}\) thì a²+a+43 là số chính phương

Ta có:\(A=1+19^{19}+93^{199}+1993^{1994}\)

Dễ thấy:

\(19^2\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow19^{18}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow19^{19}\equiv9\left(mod10\right)\)

\(93^4\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow93^{196}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow93^{199}\equiv7\left(mod10\right)\)

\(1993\equiv3\left(mod10\right)\Rightarrow1993^4\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow1993^{1992}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow1993^{1994}\equiv9\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow1+19^{19}+93^{199}+1993^{1994}\equiv1+9+7+9\equiv6\left(mod10\right)\)

Cho bạn 1 ý tưởng làm bài này nhưng không khả thi lắm :v

Bài làm:

Ta có: Đặt \(m=\left(a^2+b^2\right)\) \(\left(a,b\inℤ\right)\)

=> \(m^2=\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+2a^2b^2+b^4\)

\(=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Vì \(a,b\inℤ\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^2-b^2\right)^2\\\left(2ab\right)^2\end{cases}}\) là các số chính phương

=> m² là tổng của 2 số chính phương

=> đpcm

Với n=1 ta có T=9 là số chính phương

Với n=2 ta có T=29 không là số chính phương

Với n\(\ge\)3 ta có T là số chính phương lẻ do đó T\(\equiv\)1 (mod 4) (1 số chính phương lẻ chia 4 có số dư bằng 1)

Do \(n\ge3\)nên \(2^n\equiv0\left(mod4\right);4^n\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow3^n\equiv1\left(mod4\right)\)mà \(3^n=\left(4-1\right)^n\equiv\left(-1\right)^n\)=> n là số chẵn

đặt \(n=2k\left(k\inℤ^+\right)\)khi đó \(T=4^k+9^k+16^k=\left(3+1\right)^k+9^k+\left(15+1\right)^k\equiv2\left(mod3\right)\)

Nhưng 1 số chính phương không chia hết cho 3 sẽ có dạng (3m+1)² hoặc (3m-1)² với m là số nguyên khi chia 3 dư 1 (vì 1 số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1) vậy T không là số chính phương khi n\(\ge\)3

Vậy n=1 thì T là số chính phương

+) Xét n = 1: T = 2 + 3 + 4 = 9 thỏa mãn

+) Xét \(n\ge2\)

\(2^n+3^n+4^n\equiv\left(-1\right)^n\)(mod 4) mà do T là số chính phương nên n phải chẵn

+) Xét n chẵn:

\(2^n+3^n+4^n\equiv\left(-1\right)^n+1^n\equiv2\)(mod 3), do T là số chính phương nên vô lí

Vậy n = 1

Không trả lời thì đừng viết. Làm mấy điều thiểu năng đấy không sợ bị chửi à

Vì tổng hai số chính phương bé hơn hoặc bằng 2017 và có chữ số hàng đơn vị là 7 nên tận cùng 2 số chính phương thứ nhất là chỉ có thể là 6 hoặc 1. Không mất tính tổng quát g/s số chính phương thứ nhất có chữ số hàng đơn vị là: 1

=> Số chính phương thứ nhất chỉ có thể là: \(1^2;9^2;11^2;19^2;21^2;29^2;31^2;39^2;41^2\)

Số chính phương thứ 2 sẽ có thể là: \(4^2;6^2;14^2;16^2;24^2;26^2;34^2;36^2;44^2\)

Số số nguyên dương bé nhất bằng số tổng tìm được từ 2 dãy trên: 

+) Nếu số thứ nhất là 1^2 thì số thứ 2 có 9 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 9^2 thì số thứ 2 có 9 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 11^2 thì số thứ 2 có 8 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 19^2 thì số thứ 2 có 8 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 21^2 thì số thứ 2 có 8 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là: 29^2 thì số thứ 2 có 7 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhấy là 31^2 thì số thứ 2 có 6 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là: 39^2 thì số thứ 2 có 4 cách chọn 

+) Nếu số thứ nhất là 41^2 thì số thứ 2 có 4 cách chọn 

Vậy số số nguyên dương cần tìm là: 9 + 9 + 8 + 8 + 8 +7 + 6 + 4 + 4 = 63 số 

a) ta có với n nguyên dương n²+n+1=n²+2n+1-n=(n+1)²-n

như vậy có n²2+n+12+2n+1 hay n²2+n+1<(n+1)²

mà n² và (n+1)² là 2 số chính phương liên tiếp

=> n²+n+1 không là số chính phương với mọi n nguyên dương (đpcm)

Với p là số nguyên tố bạn nhé

Ta có a² là số chính phương nên các ước nguyên tố có số mũ chẵn nhưng p³ có số mũ lẻ nên a² bắt buộc phải chia hết cho p⁴

Ta có đpcm

Gọi số cần tìm là : \(ab\)

Theo bài ta có :

\(ab+ba=n^2\)

\(\Rightarrow10a+b+10b+a=n^2\)

\(\Rightarrow11\left(a+b\right)=n^2\)

\(\Rightarrow n^2⋮11\)

\(\Rightarrow n^2⋮11^2\)

\(\Rightarrow11\left(a+b\right)⋮11^2\)

\(\Rightarrow a+b=11\)

\(\Rightarrow a;b\in\left\{\left(9,2;\left(8,3\right);\left(7,4\right);\left(6,5\right);\left(5,6\right);\left(4,7\right);\left(3,8\right);\left(2,9\right)\right)\right\}\)

\(\Rightarrow ab\in\left\{92;83;74;65;47;38;29\right\}\)

là n chữ số mak bạn

22499....9100....09

=22.10^2n+1 + 4.10^2n +(10^n-2 -1).10^n+2 +1.10^n+1 +9

=220.10^2n+4.10^2n+10^2n-10^n+2+10^n+1 +9

=10^2n.225-10^n(100-10)+9

=(10^n.15)^2-90.10^n+9

=(10^n.15-3)^2

Vì   \(7^n+147\) là số chính phương 

=> Đặt: \(7^n+147\)  với a là số nguyên khi đó ta có: 

\(7^n+147=a^2\)không mất tính tổng quát g/s a nguyên dương

mà: n là số tự nhiên  nên \(7^n⋮7\); \(147=7^2.3⋮7\)=> \(a^2⋮7\)=> \(a⋮7\)=> \(a^2⋮7^2\)

=> \(7^n⋮7^2\)=> n \(\ge\)2

+) Với n = 2k khi đó: \(k\ge1\)

Ta có: \(7^{2k}+147=a^2\)

<=> \(\left(a-7^k\right)\left(a+7^k\right)=147\)

Vì: \(\hept{\begin{cases}0< a-7^k< a+7^k\\a-7^k;a+7^k⋮7\end{cases}}\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}a+7^k=21\\a-7^k=7\end{cases}}\Leftrightarrow7^k=7\Leftrightarrow k=1\)=> n = 2 

Thử lại thỏa mãn

+) Với n = 2k + 1  ta có: 

\(7^{2k+1}:4\) dư -1

\(147\): 4 dư  3

=> \(7^{2k+1}+147\) chia 4 dư 2 

mà số chính phương chia 4 bằng 0 hoặc 1 

=> Loại 

Vậy: n = 2

BHNHMKKJH,JKFFFGERRGTGJH

142+555

4+4+4+4+4+44------

Ta có các SCP có 1 chữ số là 0; 1; 4; 9

=> Các số cần tìm là 00; 11; 44; 99.

Mà 00 không phải số có 2 chữ số.

Vậy số cần tìm là 11; 44 hoặc 99.

em chịu khó đánh link này lên google

https://olm.vn/hoi-dap/detail/10723222015.html

ko mình chỉ biết thế thôi:))))

+)Ta có:\(10\le ab\le99\)

\(\Rightarrow20110\le201ab\le20199\)

\(\Rightarrow141^2< 201ab< 142^2\)

Mà 141;142 là 2 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow\)Không tìm được a;b để 201ab là số chính phương

Chúc bn học tốt

có nhưng mik ko biết  là vì sao :)