Giải toán trên mạng

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=3

CMR:\(\frac{a+1}{1+b^2}\)+\(\frac{b+1}{1+c^2}\)+\(\frac{c+1}{1+a^2}\)>= 3

Được cập nhật 11/04/2018 lúc 08:41

Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo
Thắng Nguyễn CTV 12/04/2018 lúc 01:07
Báo cáo sai phạm

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)

\(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)

Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)

Hoàng Phú Huy 13/04/2018 lúc 21:13
Báo cáo sai phạm

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

b 2 + 1 a + 1 = a + 1 − b 2 + 1 b 2 a + 1 ≥ a + 1 − 2b b 2 a + 1 = a + 1 − 2 ab + b .

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

VT ≥ 3 + a + b + c − 2 ab + bc + ca + a + b + c ≥ 3 + a + b + c − 2 3 a + b + c 2 + a + b + c = 3

Dấu "=" <=> a = b = c = 1 

0o0 Hoàng Phú Huy 0o0 12/04/2018 lúc 07:21
Báo cáo sai phạm

\(Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\) \(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế: \(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\) \(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\) Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)\)

Hỏa Long Natsu 12/04/2018 lúc 22:13
Báo cáo sai phạm
  • Thắng Nguyễn 
  • Học lớp mấy ? 
Hoàng Nguyễn Huy 12/04/2018 lúc 21:02
Báo cáo sai phạm

Hình như đề cho thiếu điều kiện.

Chẳng hạn với a=-1; b=-1; c=5 thì a+b+c=3 nhưng VT=3 (đẳng thức)

hay với a=-2; b=-1; c=6 thì a+b+c=3 nhưng VT=9/10 lại <3 

Hương Mưa 12/04/2018 lúc 12:57
Báo cáo sai phạm

đặt \(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}=P\)

=>\(P-3=\frac{a+1}{1+b^2}-a+\frac{b+1}{1+c^2}-b+\frac{c+1}{1+a^2}-c\)

=>\(P-3=\frac{a+1-a-ab^2}{1+b^2}+\frac{b+1-b-bc^2}{1+c^2}+\frac{c+1-c-ca^2}{1+a^2}\)

=\(\frac{1-ab^2}{1+b^2}+\frac{1-bc^2}{1+c^2}+\frac{1-ca^2}{1+a^2}\ge0\)

=>\(P\ge3\)

Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới bài toán mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
Thắng Nguyễn 13/10/2016 lúc 23:58

a)Áp dụng Bđt cô si, ta có:

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng 3 vế của bđt lại ta có:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\)

dấu = khi a=b=c=1

Có thể bạn quan tâm

Đố vuiToán có lời vănToán đố nhiều ràng buộcGiải bằng tính ngượcLập luậnLô-gicToán chứng minhChứng minh phản chứngQui nạpNguyên lý DirechletGiả thiết tạmĐo lườngThời gianToán chuyển độngTính tuổiGiải bằng vẽ sơ đồTổng - hiệuTổng - tỉHiệu - tỉTỉ lệ thuậnTỉ lệ nghịchSố tự nhiênSố La MãPhân sốLiên phân sốSố phần trămSố thập phânSố nguyênSố hữu tỉSố vô tỉSố thựcCấu tạo sốTính chất phép tínhTính nhanhTrung bình cộngTỉ lệ thứcChia hết và chia có dưDấu hiệu chia hếtLũy thừaSố chính phươngSố nguyên tốPhân tích thành thừa số nguyên tốƯớc chungBội chungGiá trị tuyệt đốiTập hợpTổ hợpBiểu đồ VenDãy sốHằng đẳng thứcPhân tích thành nhân tửGiai thừaCăn thứcBiểu thức liên hợpRút gọn biểu thứcSố họcXác suấtTìm xPhương trìnhPhương trình nghiệm nguyênPhương trình vô tỉCông thức nghiệm Vi-etLập phương trìnhHệ phương trìnhBất đẳng thứcBất phương trìnhBất đẳng thức hình họcĐẳng thức hình họcHàm sốHệ trục tọa độĐồ thị hàm sốHàm bậc haiĐa thứcPhân thức đại sốĐạo hàm - vi phânLớn nhất - nhỏ nhấtHình họcĐường thẳngĐường thẳng song songĐường trung bìnhGócTia phân giácHình trònHình tam giácTam giác bằng nhauTam giác đồng dạngĐịnh lý Ta-letTứ giácTứ giác nội tiếpHình chữ nhậtHình thangHình bình hànhHình thoiHình hộp chữ nhậtHình ba chiềuChu viDiện tíchThể tíchQuĩ tíchLượng giácHệ thức lượngViolympicGiải toán bằng máy tính cầm tayToán tiếng AnhGiải tríTập đọcKể chuyệnTập làm vănChính tảLuyện từ và câu

Có thể bạn quan tâm


Tài trợ

Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web hoc24.vn để được giải đáp tốt hơn.


sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức: