Cho
\(a=\sqrt{2+\sqrt{2}}.\sqrt{3+\sqrt{7+\sqrt{2}}}\)
\(b=\sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{7+\sqrt{2}}}}.\sqrt{3-\sqrt{6+\sqrt{7+\sqrt{2}}}}\)
tinh a.b
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta sử dụng nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n\), trong \(n\) số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho \(n\).
Giả sử ta có 1900 số tự nhiên liên tiếp, trong 1001 số đầu tiên của 1900 số đó, loại bỏ số đầu tiên luôn có một số chia hết cho 1000 mà dương. Giả sử số đó là N thì số đó trong biểu diễn thập phân có dạng \(N=\overline{A000}\) , trong đó \(A\) là số nguyên dương nào đó. Khi đó ta còn ít nhất 899 số nguyên liên tiếp nữa. Các số tiếp theo N sẽ có dạng \(N=\overline{A000},N+1=\overline{A001},\ldots,\overline{A026},\ldots\) trong đó có 27 liên tiếp mà tổng các chữ số bằng \(n,n+1,\ldots,n+26\) với \(n\) là tổng các chữ số của A. Áp dụng nhận xét làn nữa ta được trong các số \(n,n+1,\ldots,n+26\) có 1 số chia hết cho 27, do đó có một số trong 1900 số liên tiếp mà tổng các chữ số chia hết cho 27.
Rut gon:
\(B=\frac{\sqrt{8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}}+\sqrt{8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}}}{\sqrt{50}+\sqrt{250}}\)
Mẫu số bằng \(\sqrt{50}+\sqrt{250}=5\sqrt{2}+5\sqrt{10}=5\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right).\)
Kí hiệu tử số là \(A\) thì ta có
\(A^2=\left(\sqrt{8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}}+\sqrt{8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}}\right)^2\)
\(=8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}+2\sqrt{8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}}\cdot\sqrt{8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}}+8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}\)
\(=16+2\sqrt{\left(8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}\right)\left(8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}\right)}\)
\(=16+2\sqrt{8^2-\left(40+8\sqrt{5}\right)}=16+2\sqrt{24-8\sqrt{5}}\)
\(=16+2\sqrt{4-2\cdot2\cdot2\sqrt{5}+\left(2\sqrt{5}\right)^2}=16+2\sqrt{\left(2-2\sqrt{5}\right)^2}\)
\(=16+2\left|2-2\sqrt{5}\right|=16-4+4\sqrt{5}=12+4\sqrt{5}=4\left(3+\sqrt{5}\right).\)
Vậy \(A=4\left(3+\sqrt{5}\right)=2\left(6+2\sqrt{5}\right)=2\left(\sqrt{5}+1\right)^2.\)
Thành thử \(B=\frac{2\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{5\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+1\right)}{5}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{5}.\)
viết lại cái đề ( tự viết hjhj )
\(C=\left(\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right).\sin^2\alpha+\left(\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right).\sin^2\alpha\)
\(=\frac{1}{\cos^2\alpha}.\sin^2\alpha+\frac{1}{\sin^2\alpha}.\sin^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1\)
=\(=\frac{1}{\cos^2\alpha}\)
Áp dụng hằng đẳng thức \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2-y^2\) và tính chất \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}\)ta nhận được
\(b=\sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{7+\sqrt{2}}}}\cdot\sqrt{3-\sqrt{6+\sqrt{7+\sqrt{2}}}}\)
\(=\sqrt{\left(3+\sqrt{6+\sqrt{7+\sqrt{2}}}\right)\left(3-\sqrt{6+\sqrt{7+\sqrt{2}}}\right)}\)
\(=\sqrt{3^2-\left(6+\sqrt{7+\sqrt{2}}\right)}=\sqrt{3-\sqrt{7+\sqrt{2}}.}\)
Do đó \(b=\sqrt{3-\sqrt{7+\sqrt{2}}}.\) Suy ra
\(a\cdot b=\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot\sqrt{3+\sqrt{7+\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{3-\sqrt{7+\sqrt{2}}}\)
\(=\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\left(3+\sqrt{7+\sqrt{2}}\right)\left(3-\sqrt{7+\sqrt{2}}\right)}\)
\(=\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{3^2-\left(7+\sqrt{2}\right)}\)
\(=\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}=\sqrt{2^2-2}=\sqrt{2}.\)
Vậy \(a\cdot b=\sqrt{2}.\)