Cho P = (1-\(\dfrac{1}{1+2}\)) (1- \(\dfrac{1}{1+2+3}\)) … ( 1 -\(\dfrac{1}{1+2+...+n}\) ) . Tìm các số tự nhiên n \(\text{≥}\) 2 để \(\dfrac{1}{P}\) là số nguyên.
Giúp mình giải bài này với ạ!!!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nam mua quyển sách hết :
\(50000\times\left(100\%-10\%\right)=45000\) (đồng)
Số tiền mà quyển sách giảm đi là: 50000 x 10% = 5000 ( đồng )
Số tiền mà Nam mua quyển sách là : 50000 - 5000 = 45000 ( đồng )
Kết luận ...
\(VT=\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{a}{ab+a+b+a^2}+\dfrac{b}{ab+a+b+b^2}\)
\(=\dfrac{a}{\left(a+b\right).\left(a+1\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right).\left(b+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right).\left(ab+a+ab+b\right)}{\left(a+b\right)^2.\left(a+1\right).\left(b+1\right)}=\dfrac{ab+1}{\left(a+b\right).\left(ab+a+b+1\right)}\)
\(=\dfrac{ab+1}{2.\left(a+b\right)}\)(1)
\(VP=\dfrac{ab+1}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{ab+1}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2.\left(a+1\right).\left(b+1\right)}}\)
\(=\dfrac{ab+1}{2\left(a+b\right)}\) (2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
Giải
Với a,b > 0, ta có:
\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\)
Tương đương
\(\dfrac{a+ab^2+b+a^2b}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b+ab\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác, \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)=\left(a^2+a+b+ab\right)\left(b^2+a+b+ab\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(b+1\right)\\ =\left(a+b\right)^2\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\right]\\ =\left(a+b\right)^2\left(a+b+ab+1\right)\\ =2\left(a+b\right)^2\)
Do đó phương trình đã cho tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2}.\left(a+b\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(a,b>0\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1\right)\)
Vì phương trình (1) đúng nên phương trình ban đầu cũng đúng
Suy ra điều phải chứng minh
Ta có: 151+152+...+175>175+175+...+175=2575=13
176+177+...+1100>1100+1100+...+1100=25100=14
=> S>13+14=712 (1)
Ta có: 151+152+...+175<150+150+...+150=2550=12
176+177+...+1100<175+175+...+175=2575=13
=> S<12+13=56(2)
Từ (1) và (2) => 712 < S<56
Ta có:
- 1/51 > 1/75, 1/52 > 1/75 ...
=> 1/51 + 1/52 + ... + 1/75 > 1/75 + ... 1/75 = 25/75 = 1/3
- 1/76 > 1/100, 1/77 > 1/100 ...
=> 1/76 + 1/77 + ... + 1/100 > 1/100 + ... + 1/100 = 25/100 = 1/4
Từ đó : S = ( 1/51 + ... + 1/75 ) + ( 1/76 + ... + 1/100 ) > 1/3 + 1/3 = 7/12 (1)
- 1/51 < 1/50, 1/52 < 1/50 ...
=> 1/51 + 1/52 + ... + 1/75 < 1/50 + ... 1/50 = 25/50 = 1/2
- 1/76 < 1/75, 1/77 < 1/75...
=> 1/76 + 1/77 + ... + 1/100 < 1/75 + ... + 1/75 = 25/75 = 1/3
Từ đó : S = ( 1/51 + ... + 1/75 ) + ( 1/76 + ... + 1/100 ) < 1/2 + 1/3 = 5/6 (2)
từ (1) và (2) => 5/6 > S > 7/12
* Chúc bn học tốt !!!
Số có các chữ số tổng bằng 10:
Hàng trăm 1: 109, 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, 181, 190 : 10
Hàng trăm 2: 208, 217, 226, 235, 244, 253, 262, 271, 280 : 9
Hàng trăm 3: 307, 316, 325, 334, 343, 352, 361, 370 : 8
Hàng trăm 4: 406, 415, 424, 433, 442, 451, 460 : 7
Hàng trăm 5: 505, 514, 523, 532, 541, 550 : 6
=> tổng có 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40 số có tổng các chữ số = 10
* Good luck !!!!
Ta có \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=7\)
\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+2.x.\dfrac{1}{x}=9\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=3\) (Do x > 0) (1)
Từ (1) \(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=27\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}+3.\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\)
Ta lại có \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^5=x^5+5x^3+10x+\dfrac{10}{x}+\dfrac{5}{x^3}+\dfrac{1}{x^5}=243\)
\(\Leftrightarrow F=x^5+\dfrac{1}{x^5}=243-5.\left(\dfrac{1}{x^3}+x^3\right)-10.\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=123\)
Chiều dài mảnh đất là :
5 x 1000 = 5000 ( cm )
Chiều rộng mảnh đất là :
3 x 1000 = 3000 ( cm )
S mảnh đất là :
5000 x 3000 = 15000000 ( cm2 ) = 1500 m2
Vậy S mảnh đất đó là 1500 m2
Goodluck !!!
Chiều dài thật của mảnh đất là :
5 x 1000 = 5000 (cm) hay 50m
Chiều rộng thật của mảnh đất là :
3 x 1000 = 3000 (cm) hay 30m
Diện tích của mảnh đất đó là :
50 x 30= 1500 (m2)
Đáp số: 1500m2.
Bài 40:
a) A = \(\left\{11;12;13;14;15\right\}\)
b) B = \(\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\)
c) C = \(\left\{12;13;14;15;16;17;18;19\right\}\)
d) D = \(\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}\)
Câu 41:
a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5\right\}\)
b) B = \(\left\{1;2;3;4;5\right\}\)
c) C = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}\)
d) D = \(\left\{205;206;207;208\right\}\)
e) E = \(\left\{1200;1201;1202;1203;1204;1205\right\}\)
g) G = \(\left\{250;251;252;253;254\right\}\)
Bài 42:
a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}\)
b) B = \(\left\{10;11;12;13;14\right\}\)
c) C = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}\)
d) D = \(\left\{8;9;10;11;12;13\right\}\)
e) E = \(\left\{1;2;3;4\right\}\)
f) F = \(\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}\)
g) G = \(\left\{17;18;19;20;21\right\}\)
h) H = \(\left\{8;9;10;11;12;13\right\}\)
Bài 43: ( bạn không viết rõ đề bài nên mình viết 2 cách ra nhé )
a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5;...;2298;2299;2300\right\}\)
A = \(\left\{x\in N|x\le2300\right\}\)
b) B = \(\varnothing\) ( B thuộc tập hợp rỗng )
B = \(\left\{x\in N|14< x< 15\right\}\)
c) C = \(\left\{0;1;2;3;4\right\}\)
C = \(\left\{x\in N|x\le4\right\}\)
d) D = \(\left\{1;2;3;4;5;6;...;143;144\right\}\)
D = \(\left\{x\inℕ^∗|x< 145\right\}\)
e) E = \(\left\{7;8;9;10;11;12\right\}\)
E = \(\left\{x\in N|6< x\le12\right\}\)
g) G = \(\left\{1226;1228;1230;1232;1234\right\}\)
G = \(\left\{x\in N\right\}chẵn|1225< x\le1234\)
Bài 44:
a) A = \(\left\{0;1;2;3;4;5;...;49;50\right\}\)
A = \(\left\{x\in N|x\le50\right\}\)
b) B = \(\varnothing\) ( B thuộc tập hợp rỗng )
B = \(\left\{x\in N|8< x< 9\right\}\)
c) C = \(\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}\)
C = \(\left\{x\in N|x\le6\right\}\)
d) D = \(\left\{1;2;3;4\right\}\)
D = \(\left\{x\inℕ^∗|x< 5\right\}\)
e) E = \(\left\{8;9;10;11;12;13;14\right\}\)
E = \(\left\{x\in N|7< x\le14\right\}\)
Bài 45:
a) B = \(\left\{0;1;2;3;4;5\right\}\)
B = \(\left\{x\in N|x\le5\right\}\)
b) thuộc tập hợp B thì:
\(5\in B\)
\(4\in B\)
\(0\in B\)
\(6\notin B\)
\(1\in B\)
\(\dfrac{1}{2}\notin B\)
Chúc bạn học tốt
Lần sau bạn gửi vài bài chứ như vầy nhiều lắm nha.
Lời giải:
Xét thừa số tổng quát:
\(1-\frac{1}{1+2+...+n}=\frac{(1+2+...+n)-1}{1+2+...+n}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}-1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{n(n+1)-2}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}\)
Thay $n=2,3,....,$ ta được:
\(P=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}.\frac{3.6}{4.5}....\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}\)
\(=\frac{[1.2.3....(n-1)][4.5.6..(n+2)]}{(2.3.4..n)[3.4.5...(n+1)]}\)
\(=\frac{1}{n}.\frac{n+2}{3}=\frac{n+2}{3n}\)
\(\frac{1}{P}=\frac{3n}{n+2}\in\mathbb{Z}\) khi mà $3n\vdots n+2$
$\Leftrightarrow 3(n+2)-6\vdots n+2$
$\Leftrightarrow 6\vdots n+2$
$\Rightarrow n+2\in\left\{6\right\}$ (do $n+2\geq 4$ với mọi $n\geq 2$)
$\Rightarrow n=4$