ĐỀ thi hsg toán 9 hải phòng năm 2016-2017

Ta có:

\(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)

\(X=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\right)\left(1+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}\right)\left(1+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}\right)\)

\(\ge\frac{4}{\sqrt[4]{27a^3}}.\frac{4}{\sqrt[4]{27b^3}}.\frac{4}{\sqrt[4]{27c^3}}\)

\(=\frac{4^3}{\sqrt[4]{27^3}.\sqrt[4]{a^3b^3c^3}}\ge\frac{4^3}{\sqrt[4]{27^3}.\sqrt[4]{\frac{1}{27^3}}}=64\)

Chứng minh: 

\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{b+1}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \frac{1}{\sqrt{b}}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}< \sqrt{b+1}+\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{b}< \sqrt{b+1}\)(đúng)

Cái còn lại tương tự

ta có:\(\sqrt{\frac{b+c}{a}}\le\frac{a+b+c}{2a}.\)   (BĐT cauchy) 

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)    (1)

tương tự ta có:  \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)    (2)

     \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)   (3)

từ (1),(2),(3) => \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

=> đpcm

ta có ; \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

  \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)

  \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

cộng lại theo từng vế ta có biểu thức đó \(\ge2\). xảy ra đẳng thức \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=a+c\\c=a+b\end{cases}\Rightarrow a+b+c=0\left(\ne gt\right)}\)

\(\Rightarrow\)đẳng thức ko xảy ra

Câu hỏi của Lê Văn Hoàng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Các bạn ơi, giúp mk vs, mai mk phải đi hc r mà ko có bài

Lấy M bất kì trên EF nhé các bạn