dễ cm bđt: x²+y² ≥ (x+y)²/2, khai triễn là ra hằng đẳng đúng, dấu "=" khi x = y 
ad: P = (x+1/x)² + (y+1/y)² ≥ [x+1/x + y+1/y]²/2 = [(x+y) + (x+y)/xy]²/2 (*) 
bđt côsi: 1 = x+y ≥ 2√(xy) => 1 ≥ 4xy => 1/xy ≥ 4 
thay vào (*): P ≥ [1 + 1/xy]²/2 ≥ [1 + 4]²/2 = 25/2 (đpcm), dấu "=" khi x = y = 1/2 

Đặt \(P=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:

\(\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow2P\ge\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(1)

Ta có BĐT:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( bạn tự CM = cách chuyển vế nhé )

Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương x,y ta có:
\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(2P\ge25\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)

Đây là 1 VD cụ thể nhất của phương pháp ẩn phụ đưa về tam thức bậc 2.

Đặt: \(\sqrt{x^2+1}=a\), khi đó,ta viết được PT đã cho vế dạng.

\(a^2+3x=x+3a\)hay \(a^2-a.x+3+3x=0\)

Ta tính được: \(\Delta=x-3^2\), từ đây có thễ dế dàng biểu diên a theo x 

P/s: Ko chắc

\(x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+1\right)^2=\left(x+3\right)^2\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+9x^2+1+6x^3+6x+2x^2=\left(x^2+6x+9\right)\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^4+6x^3+10x^2+6x+9\)

\(\Leftrightarrow x^2=8\Rightarrow x=\pm8=\pm2\sqrt{2}\)

Vaayj \(x=\pm2\sqrt{2}\)

ĐKXĐ : \(x\ne0;x-\frac{1}{x}\ge0;1-\frac{1}{x}\ge0\)

phương trình tương đương với 

\(\sqrt{\frac{x-1}{x}\left(x+1\right)}+5\sqrt{\frac{x-1}{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{x}-3\left(x+1\right)+3=0\)\(\left(1\right)\)

Đặt \(a=\sqrt{\frac{x-1}{x}}\)\(;\)\(b=\sqrt{x+1}\)\(\left(a,b\ge0\right)\)

Ta có \(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow ab+5a+2a^2-3b^2+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b+1\right)\left(2a+3b+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-b+1=0\)(vì \(a,b\ge0\)nên \(2a+3b+3>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}=1\)\(\left(2\right)\)

Bình phương hai vế của \(\left(2\right)\)ta được 

\(x+1-2\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}+\frac{x-1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)-2\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(TMDK\right)\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\left(L\right)\end{cases}}\)

Vậy phương trình có nghiệm là : \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

P / s : Các bạn tham khảo nha