3AN=2CN

=>\(AN=\dfrac{2}{3}CN\)

=>\(AN=\dfrac{2}{5}AC\)

=>\(CN=\dfrac{3}{5}AC\)

CM=2BM

=>\(BM=\dfrac{1}{3}BC;CM=\dfrac{2}{3}BC\)

Vì \(CN=\dfrac{3}{5}AC\)

nên \(S_{MNC}=\dfrac{3}{5}\cdot S_{AMC}\)

=>\(S_{AMC}=30:\dfrac{3}{5}=50\left(cm^2\right)\)

Vì \(CM=\dfrac{2}{3}BC\)

nên BC=1,5CM

=>\(S_{ABC}=1,5\cdot S_{AMC}=1,5\cdot50=75\left(cm^2\right)\)

Cần gấp

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+1 thì \(2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3=3\left(2k+1\right)⋮3\)

=>Loại

Vậy: p=3k+2

\(4p+1=4\left(3k+2\right)+1=12k+8+1=12k+9=3\left(4k+3\right)⋮3\)

=>4p+1 là hợp số

\(\dfrac{1}{x^2\left(y-z\right)}=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow x^2=-\dfrac{5}{3\left(y-z\right)}\)

\(\dfrac{1}{y^2\left(z-x\right)}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow y^2=\dfrac{3}{\left(z-x\right)}\)

\(\dfrac{1}{z^2\left(x-y\right)}=3\Rightarrow z^2=\dfrac{1}{3\left(x-y\right)}\)

\(A=x^2.y^2.z^2=-\dfrac{5}{3\left(y-z\right)}.\dfrac{3}{z-x}.\dfrac{1}{3\left(x-y\right)}=\)

\(=-\dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x-y\right)}=\)

\(|x^2|x+\dfrac{3}{4}||=x^2\)

=>\(x^2\cdot\left|x+\dfrac{3}{4}\right|=x^2\)

=>\(\left|x+\dfrac{3}{4}\right|=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{3}{4}=1\\x+\dfrac{3}{4}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\x=-\dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.\)

|\(x^2\).|\(x+\dfrac{3}{4}\)| |= \(x^2\)

\(x^2\).|\(x+\dfrac{3}{4}\)| = \(x^2\)

\(x^2\).|\(x+\dfrac{3}{4}\)| - \(x^2\) = 0

\(x^2\).(|\(x+\dfrac{3}{4}\)| - 1) = 0

\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\\left|x+\dfrac{3}{4}\right|=1\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+\dfrac{3}{4}=-1\\x+\dfrac{3}{4}=1\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{7}{4}\\x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(x\) \(\in\) { - \(\dfrac{7}{4}\); 0; \(\dfrac{1}{4}\)}

Lời giải:

Chiều rộng thửa ruộng:

$60\times 40:100=24$ (m) 

Diện tích thửa ruộng:

$60\times 24=1440$ (m²)

Thửa ruộng đó thu hoạch được số kg khoai tây là:

$1440:100\times 240=3456$ (kg) 

Số tiền thu được khi bán khoai tây là:

$3456\times 25000=86400000$ (đồng)

Thịnh ơi hình như sai rồi

\(\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{2}\)

=>\(\dfrac{5x-2y}{xy}=\dfrac{3}{2}\)

=>2(5x-2y)=3xy

=>10x-4y-3xy=0

=>10x-3xy-4y=0

=>x(10-3y)-4y=0

=>\(-3x\left(y-\dfrac{10}{3}\right)-4y+\dfrac{40}{3}=0\)

=>\(-3x\left(y-\dfrac{10}{3}\right)-4\left(y-\dfrac{10}{3}\right)=0\)

=>\(\left(-3x-4\right)\left(y-\dfrac{10}{3}\right)=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3x-4=0\\y-\dfrac{10}{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left|\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{4}\right|>=0\forall x\)

=>\(\left|\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{4}\right|-\dfrac{2}{11}>=-\dfrac{2}{11}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{4}=0\)

=>\(\dfrac{4}{3}x=\dfrac{1}{4}\)

=>\(x=\dfrac{1}{4}:\dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{16}\)

  A =  |\(\dfrac{4}{3}\)\(x\) - \(\dfrac{1}{4}\)| - \(\dfrac{2}{11}\)

Vì |\(\dfrac{4}{3}\)\(x\) - \(\dfrac{1}{4}\)| ≥ 0 ∀ \(x\)

   |\(\dfrac{4}{3}x\) - \(\dfrac{1}{4}\)| - \(\dfrac{2}{11}\) ≥ - \(\dfrac{2}{11}\) dấu bằng xảy ra khi : \(\dfrac{4}{3}x\) - \(\dfrac{1}{4}\) = 0 

⇒ \(\dfrac{4}{3}\)\(x\) = \(\dfrac{1}{4}\) ⇒ \(x\) = \(\dfrac{1}{4}\) : \(\dfrac{4}{3}\) ⇒ \(x\) = \(\dfrac{3}{16}\)

Vậy giá  trị nhỏ nhất của biểu thức là - \(\dfrac{2}{11}\) khi \(x=\dfrac{3}{16}\) 

Chiều rộng là:

\(\sqrt{\dfrac{36}{4}}=3\left(cm\right)\)

Chiều dài hình chữ nhật là 3x4=12(cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là 12+3=15(cm)

       Đây là toán nâng cao chuyên đề chu vi diện tích các hình, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                      Giải:

Chia hình chữ nhật thành các hình vuông nhỏ bằng nhau và có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật, khi đó số hình vuông nhỏ là:

                    4 x 1 = 4 (hình)

Diện tích mỗi hình vuông nhỏ là: 36 : 4  = 9 (cm²)

                   Vì 9  = 3 x 3 

Vậy cạnh hình vuông cũng là chiều rộng của hình chữ nhật là: 3 cm

Chiều dài của hình chữ nhật là: 3 x 4 = 12 (cm)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: 12 + 3 = 15 (cm)

Đáp số: 15 cm

Sửa đề: \(\dfrac{1}{5}< \dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{4}\)

Đặt \(A=\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)

\(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}< \dfrac{1}{5\cdot6}< \dfrac{1}{5^2}< \dfrac{1}{4\cdot5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}< \dfrac{1}{6\cdot7}< \dfrac{1}{6^2}< \dfrac{1}{5\cdot6}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\)

...

\(\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}=\dfrac{1}{100\cdot101}< \dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{100\cdot99}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

Do đó: \(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}< \dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

=>\(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{101}< A< \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}\)

=>\(\dfrac{1}{5}< A< \dfrac{1}{4}\)

A = \(\dfrac{1}{5^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\) + \(\dfrac{1}{7^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{100^2}\)

\(\dfrac{1}{5.6}\) < \(\dfrac{1}{5^2}\) < \(\dfrac{1}{4.5}\)

\(\dfrac{1}{6.7}\) < \(\dfrac{1}{6^2}\) < \(\dfrac{1}{5.6}\)

\(\dfrac{1}{7.8}\) < \(\dfrac{1}{7^2}\) < \(\dfrac{1}{6.7}\)

......................

\(\dfrac{1}{100.101}\) < \(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{99.100}\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\dfrac{1}{5.6}\) + \(\dfrac{1}{6.7}\) + ... + \(\dfrac{1}{100.101}\)< \(\dfrac{1}{5^2}\)+\(\dfrac{1}{6^2}\)+...+\(\dfrac{1}{100^2}\)<\(\dfrac{1}{4.5}\)+\(\dfrac{1}{5.6}\)+...+\(\dfrac{1}{99.100}\)

\(\dfrac{1}{5}\)-\(\dfrac{1}{6}\)+\(\dfrac{1}{6}\)-\(\dfrac{1}{7}\)+\(\dfrac{1}{100}\)-\(\dfrac{1}{101}\) < \(\dfrac{1}{5^2}\)+\(\dfrac{1}{6^2}\)+...+\(\dfrac{1}{100^2}\)< \(\dfrac{1}{4}\)-\(\dfrac{1}{5}\)+\(\dfrac{1}{5}\)-\(\dfrac{1}{6}\)+...+\(\dfrac{1}{99}\)-\(\dfrac{1}{100}\)

\(\dfrac{1}{5}\) - \(\dfrac{1}{101}\) < \(\dfrac{1}{5^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\)+...+\(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{100}\)

\(\dfrac{6}{30}\) - \(\dfrac{1}{101}\) < \(\dfrac{1}{5^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\)+ .... + \(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{100}\) < \(\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{5}{30}\) +( \(\dfrac{1}{30}\) - \(\dfrac{1}{101}\)) < \(\dfrac{1}{5^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{1}{6}\) + (\(\dfrac{1}{30}\) - \(\dfrac{1}{101}\)) < \(\dfrac{1}{5^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{4}\)

Vì \(\dfrac{1}{30}\) > \(\dfrac{1}{101}\) ⇒  \(\dfrac{1}{30}\) - \(\dfrac{1}{101}\) > 0 ⇒ \(\dfrac{1}{6}\) + (\(\dfrac{1}{30}\) - \(\dfrac{1}{101}\)) > \(\dfrac{1}{6}\)

Vậy  \(\dfrac{1}{6}\) < \(\dfrac{1}{5^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{4}\) (đpcm)

\(D=\dfrac{24\cdot47-23}{24+47\cdot23}\cdot\dfrac{3+\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{11}+\dfrac{3}{1001}-\dfrac{3}{13}}{\dfrac{9}{1001}-\dfrac{9}{13}+\dfrac{9}{7}-\dfrac{9}{11}+9}\\ =\dfrac{\left(23+1\right)\cdot47-23}{24+47\cdot23}\cdot\dfrac{3+\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{11}+\dfrac{3}{1001}-\dfrac{3}{13}}{9+\dfrac{9}{7}-\dfrac{9}{11}+\dfrac{9}{1001}-\dfrac{9}{13}}\\ =\dfrac{23\cdot47+47-23}{24+47\cdot23}\cdot\dfrac{3+\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{11}+\dfrac{3}{1001}-\dfrac{3}{13}}{3\left(3+\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{11}+\dfrac{3}{1001}-\dfrac{3}{13}\right)}\\ =\dfrac{23\cdot47+24}{23\cdot47+24}\cdot\dfrac{1}{3}\\ =1\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\)