Ta có: \(\dfrac{a}{1+9b^2}=a-\dfrac{9ab^2}{1+9b^2}\ge a-\dfrac{3ab}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\text{Σ}\dfrac{a}{1+9b^2}\ge a+b+c-\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\ge a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

(Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương, ta có:

\(\text{ }ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow3\left(\text{ }ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Gọi số máy tổ I và tổ II sản xuất được lần lượt là \(a,b\left(a,b\inℕ^∗;a,b< 860\right)\)ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\\left(a+15\%a\right)+\left(b+10\%b\right)=964\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\\left(a+b\right)+\left(15\%a+10\%b\right)=964\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\860+\left(15\%a+10\%b\right)=964\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\15\%a+10\%b=104\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\10\%a+5\%a+10\%b=104\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\10\%\left(a+b\right)+5\%a=104\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\10\%\cdot860+10\%b=104\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\86+10\%b=104\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\10\%b=18\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=860\\b=180\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=180\\a=a+b-b=860-180\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=180\\a=680\end{matrix}\right.\)

Vậy tổ 1 sản xuất được 680 máy trong tháng đầu, tổ 2 sản xuất được 180 máy trong tháng đầu.

Phương trình hoành độ giao điểm

x² = -x + 2

<=> x² + x - 2 = 0

Nhận thấy phương trình có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm \(x_1=1;x_2=-2\)

Với x₁ = 1 => y₁ = 1 => A(1,1) 

Với x₂ = -2 => y₂ = 4 => B(-2 , 4) 

Ta có BO = \(\sqrt{\left(-2\right)^2+4^2}=\sqrt{20}\);

\(OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)

AB = \(\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}\)

Từ đó dễ thấy OA² + AB² = BO² 

=> Tam giác AOB vuông tại A

nên S_AOB = \(\dfrac{\sqrt{18}.\sqrt{2}}{2}=3\)

x² = -x + 2

<=> x² + x - 2 = 0

Nhận thấy phương trình có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm 

Với x₁ = 1 => y₁ = 1 => A(1,1) 

Với x₂ = -2 => y₂ = 4 => B(-2 , 4) 

Ta có BO = ;

AB = 

Từ đó dễ thấy OA² + AB² = BO² 

=> Tam giác AOB vuông tại A

nên S_AOB = 

Theo giả thiết: Vì số đo cung \(\stackrel\frown{AC}=40^o\)

\(\Rightarrow\) Góc ở tâm \(\widehat{AOC}=40^o\)

Trường hợp 1: C thuộc cung nhỏ \(\stackrel\frown{AB}\)

- Số đo góc ở tâm \(\widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}=110^o-40^o=70^o\)

Do vậy:

- Số đo cung nhỏ \(\stackrel\frown{BC}=70^o\)

- Số đo cung lớn \(\stackrel\frown{BC}=360^o-70^o=290^o\)

Trường hợp 2: C thuộc cung lớn \(\stackrel\frown{BC}\)

- Số đo góc ở tâm \(\widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{AOC}=110^o+40^o=150^o\)

Do vậy:

- Số đo cung nhỏ \(\stackrel\frown{BC}=150^o\)

- Số đo cung lớn \(\stackrel\frown{BC}=360^o-150^o=210^o\)

A = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - .......- 58² + 59²

A =  1² + ( 3² - 2²) + ( 5² - 4²) + (7² - 6²) +....+ ( 59² - 58²)

A  =  1 +   ( 3-2)(2+3) + (5-4)(4+5) + (7-6)(6+7)+....+(59-58)(58+59)

A  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ....+ 58 + 59

A = ( 59 + 1).{ (59 - 1): 1 + 1 } : 2 

A = 1770

B =  \(\dfrac{2^{2016}-2^{2015}+2^{2014}-2^{2013}+2^{2012}-2^{2011}+2^{2010}-2^{2009}}{2^{2008}}\)

Đặt tử số là A 

ta có

  A =           2²⁰¹⁶ - 2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴ -  2²⁰¹³ + 2²⁰¹² - 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹⁰- 2²⁰⁰⁹

2 A= 2²⁰¹⁷- 2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁵- 2²⁰¹⁴ +2²⁰¹³-2²⁰¹² + 2²⁰¹¹ - 2²⁰¹⁰ 

2A + A = 2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹

       3A = 2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹

         A = (2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹):3

B = A : 8 = (2²⁰¹⁷- 2²⁰⁰⁹) : 3 : 8

B = (2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹) : 24