ĐKXĐ : x lớn hơn hoặc bằng -3

Đặt \(\sqrt{x+3}\)=a, \(\sqrt{x+7}\)=b ( a,lớn hợn hoặc bằng 0, b lớn hơn 0)

=> \(\sqrt{x^2+10x+21}\)=ab

PT<=> ab=3a+2b-6

<=> ab-3a-2b+6=0

<=> a(b-3)-2(b-3)=o

<=> (a-2)(b-3)=0

<=>\(\orbr{\begin{cases}a-2=0\\b-3=0\end{cases}}\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}\)

TH1: a=2=> \(\sqrt{x+3}\)=2 <=> x+3=4<=> x=1 (t/m)

TH2: b=3 => \(\sqrt{x+7}\)=3 <=> x+7=9<=> x=2 (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm x= 1;2

Thay x^2 =yz vào x+y+z = xyz ta có: \(x+y+z=x^3\)

Chia cả 2 vế cho x khác 0 ta có: \(1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=x^2\)

\(\Rightarrow x^2=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\ge1+2\sqrt{\frac{yz}{x^2}}=1+2=3\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\pm\sqrt{3}\)

Kẻ BM và CN vuông góc với AD

a)  AC.sin\(\frac{A}{2}\)=CN \(\le\) CD ; AB.sin\(\frac{A}{2}\)=BM \(\le\) BD 

=> (AC+AB)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\) CD+BD = BC hay (b+c)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\)a <=> sin\(\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

dấu '=' xảy ra khi M,N, D trùng nhau hay tam giác ABC cân ở A

b) làm tương tự ta có sin\(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c}\); sin\(\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)

=> sin\(\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{a.b.c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)  (1)

mà (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)=8a.b.c => (1) \(\le\frac{1}{8}\)

dấu '=' khi a=b=c hay tam giác ABC là tam giác đều

c) xét 2 tam giác CND và tam giác BMD có CN // BM ( đều vuông góc với AD) nên \(\widehat{NCD}=\widehat{MBD}\); lại có \(\widehat{NDC}=\widehat{BDM}\)

=> là 2 tam giác đồng dạng => \(\frac{DN}{DM}=\frac{NC}{MB}=\frac{AC.sin\frac{A}{2}}{AB.sin\frac{A}{2}}=\frac{b}{c}=>DN=DM.\frac{b}{c}\)

AD = AM+MD => \(\frac{b}{c}AD=\frac{b}{c}AM+\frac{b}{c}MD\)

AD= AN-ND

=>cộng vế theo vế ta được  AD(\(\frac{b}{c}+1\)) = \(\frac{b}{c}\)AM+\(\frac{b}{c}MD\)+ AN - ND =  \(\frac{b}{c}AM+AN\)= \(\frac{b}{c}ABcos\frac{A}{2}+ACcos\frac{A}{2}\)=\(\frac{b}{c}.c.cos\frac{A}{2}+bcos\frac{A}{2}\)= 2b.\(cos\frac{A}{2}\)

=> AD(\(\frac{b+c}{c}\)) = 2b\(cos\frac{A}{2}\) <=> AD= \(\frac{2bc.cos\frac{A}{2}}{b+c}\)

đặt \(\sqrt{x+2}\)=a ; \(\sqrt{2-x}\)=b

=>\(\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{2}\)<=> a+b = a\(\sqrt{2}-b\sqrt{2}\)<=> a(\(\sqrt{2}-1\))= b(\(1+\sqrt{2}\))

<=> \(\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)

=> \(\frac{x+2}{2-x}=\frac{a^2}{b^2}=\left(\sqrt{2}+1\right)^4\)

điều kiện y²\(\ge1< =>y\ge1\)hoặc \(y\le-1\)

\(x+\sqrt{x^2+1}=y+\sqrt{y^2-1}\)=>\(x-y=\sqrt{y^2-1}-\sqrt{x^2+1}\)=>\(x^2+y^2-2xy=y^2-1+x^2+1-2\sqrt{\left(y^2-1\right)\left(x^2+1\right)}\)=>\(xy=\sqrt{\left(y^2-1\right)\left(x^2+1\right)}\)

=>\(\hept{x^2y^2=\left(y^2-1\right)\left(x^2+1\right)}\)=>\(y^2=x^2+1\). 

ta có hệ \(\hept{\begin{cases}y^2=x^2+1\\x^2+y^2-xy=1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}y^2=x^2+1\\2x^2-xy=0\end{cases}}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}y^2=1+x^2\\x\left(2x-y\right)=0\end{cases}}\)

<=>\(\hept{\begin{cases}y^2=1+x^2\\x=0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}2x-y=0\\y^2=x^2+1\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=\pm1\end{cases}}\)Hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\y=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{\sqrt{3}}\\y=\frac{-2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)

thay các nghiệm trên vào hệ phương trình ta thấy (x;y)=(0;-1) và (x;y)=(\(\frac{-1}{\sqrt{3}};\frac{-2}{\sqrt{3}}\))  không thỏa mãn

vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)= (0;1); (x;y)=(\(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}}\))