bài này mình nhớ làm khá nhiều ở cả olm và học 24 rồi. Mà chắc nó ko hiện câu hỏi tương tự  nên làm lại 

\(\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\). Khi đó cần cm \(\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{9}{4}\) với ab+bc+ca=1

\(VT=\)\(\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}\cdot\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{9}{4}\)

Đổi ẩn là ra ah.

\(\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)

Đặt: \(a=\frac{2}{1-\sqrt[3]{2}}\)

<=> \(\left(1-\sqrt[3]{2}\right)a=2\)

<=> \(a-2=\sqrt[3]{2}a\)

<=> \(\left(a-2\right)^3=\left(\sqrt[3]{2}a\right)^3\)

<=> \(a^3-6a^2+12a-8=2a^3\)

<=> \(a^3+6a^2-12a+8=0\)

Vậy phương trình ẩn x cần tìm là: \(x^3+6x^2-12x+8=0\)

dễ thôi bn ơi

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+2x}+\frac{1+2x}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2x}.\frac{1+2x}{9}}=\frac{2}{3}\left(1\right)\\\frac{1}{1+2y}+\frac{1+2y}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2y}.\frac{1+2y}{9}}=\frac{2}{3}\left(2\right)\\\frac{1}{1+2z}+\frac{1+2z}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2z}.\frac{1+2z}{9}}=\frac{2}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:

\(P+\frac{3+2\left(x+y+z\right)}{9}\ge2\)

\(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{3+2\left(x+y+z\right)}{9}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{15+2\left(x+y+z\right)}{9}\left(4\right)\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)Thay vào (4) ta được:

\(P\ge\frac{15+2.3}{9}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{7}{3}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Vậy ...