\(1+2+2^2+2^3+...+2^n=357680\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(1+2+2^2+...+2^n\right)=2\cdot357680\)

\(\Leftrightarrow2+2^2+2^3+2^4+...+2^{n+1}=2\cdot357680\)

\(\Leftrightarrow\left(2+2^2+...+2^{n+1}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^n\right)=2\cdot357680-357680\)

\(\Leftrightarrow\left(2-2\right)+\left(2^2-2^2\right)+...+\left(2^n-2^n\right)+\left(2^{n+1}-1\right)=357680\)

\(\Leftrightarrow2^{n+1}-1=357680\)

\(\Leftrightarrow2^{n+1}=357681\)

Xem lại đề 

\(1+2+2^2+2^3+...+2^n=357680\)

\(\Rightarrow\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}=357680\)

\(\Rightarrow2^{n+1}=357680+1\)

\(\Rightarrow2^{n+1}=357681\Rightarrow n+1=\sqrt[]{357681}\Rightarrow n=\sqrt[]{357681}-1\)

Ta có :

$\begin{array}{c}\angle ABC=90°-60°=30°,\angle ACB=90°+30°=120°\\ \Rightarrow \angle CAB=180°-30°-120°=30°\Rightarrow \angle ABC=\angle CAB\end{array}$

$\Rightarrow \Delta CAB$ cân tại C$\Rightarrow AC=BC=100m$

Ta có:$h=AC.\sin 30°=100.\frac{1}{2}=50m$

thiếu đề kìa

Xét \(x=0\Rightarrow y=0\), \(x=1\Rightarrow y^3=2\), vô lí. \(x=2\Rightarrow y=2\).

Với \(x\ge3\), ta viết lại pt đã cho như sau:

\(y^3=3^x-1\). 

Ta thấy \(y\equiv2\left[3\right]\) \(\Rightarrow y=3z-1\left(z\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\left(3z-1\right)^3=3^x-1\) 

\(\Leftrightarrow27z^3-27z^2+9z-1=3^x-1\)

\(\Leftrightarrow27z^3-27z^2+9z=3^x\)

\(\Leftrightarrow9z^3-9z^2+z=3^{x-2}\) 

\(\Leftrightarrow z\left(9z^2-9z+1\right)=3^{x-2}\)

Do \(9z^2-9z+1⋮̸3\)  nên \(\left\{{}\begin{matrix}z=3^{x-2}\\9z^2-9z+1=1\end{matrix}\right.\), vô lí do \(z\inℕ^∗\)

Vậy với \(x\ge3\) thì pt đã cho không có nghiệm nguyên.

Do đó pt đã cho có cặp nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(2;2\right)\right\}\)

- Nếu x < 0 => y không nguyên

- Nếu x = 0 => y = 0

- Nếu x = 1 => y không nguyên 

- Nếu x = 2 => y = 2 

- Nếu x > 2 pt => 3x = y3 + 1 ( Vì x > 2 => y3 > 9 ) 

Ta suy ra $y^3+1⋮9\Rightarrow y^3÷9$dư 1 

$\Rightarrow y=9k+2$hoặc  $y=9k+5$hoặc  $y=9k+8$( k là số nguyên dương ) (1) 

Mặt khác, ta cũng có $y^3+1⋮3$

$\Rightarrow y=3m+2$( m nguyên dương ) (2)

Từ (1) và (2) => vô nghiệm ( Vì từ (2) $\Rightarrow y=9n+6$không thỏa (1) )

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên không âm là ( 0;0 ) và ( 2;2 )

\(x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right)=12\)

Do \(x,y\in N\)^* nên \(x-y-1;x+y+1\inƯ\left(12\right)\) và \(x+y+1\ge1+1+1=3\)

TH1: \(x+y+1=12\Rightarrow x-y-1=1\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{2};y=\dfrac{9}{2}\) (ktm)

TH2:\(x+y+1=6;x-y-1=2\)

\(\Leftrightarrow x=4;y=1\) (thỏa mãn)

TH3: \(x+y+1=4;x-y-1=3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2};y=-\dfrac{1}{2}\) (ktm)

TH4: \(x+y+1=3;x-y-1=4\) (ktm)

Vậy \(x=4;y=1\)

\(x^2=y^2+2y+13\)

\(\Leftrightarrow x^2=y^2+2y+1+12\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+1\right)^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right)=12\)

Vi x;y nguyên dương

\(\Rightarrow\left(x-y-1\right);\left(x+y+1\right)\in B\left(12\right)=\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\left(x-y-1< x+y+1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1\in\left\{12;6;4\right\}\\x-y-1\in\left\{1;2;3\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{\dfrac{13}{2};4;\dfrac{7}{2}\right\}\\y\in\left\{\dfrac{9}{2};1;-\dfrac{1}{2}\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\) (x;y nguyên dương)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left(4;1\right)\) thỏa mãn đề bài

\(x^2+2xy+7.\left(x+y\right)+2y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y^2\right)+7.\left(x+y\right)+\dfrac{49}{4}+y^2-\dfrac{9}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)=\dfrac{9}{4}-y^2\)

\(Do\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{9}{4}-y^2\ge0\Rightarrow y^2\le\dfrac{9}{4}\)

Mà y nguyên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2\\\\y^2=1\end{matrix}\right.=0\)

Thay vào phương trình đầu: 

Với \(y=0\Rightarrow x^2+7x+10=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\\\\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Với \(y=1\Rightarrow x^2+9x+19=0\Rightarrow\) không có x nguyên

Với \(y=-1\Rightarrow x^2+5x+5=0\Rightarrow\) không có x nguyên

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$2x^2+3x+2$

$=2(x^2+\frac{3}{2}x+1)$

$=2(x^2+2.x.\frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\frac{7}{16})$

$=2[{(x+\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{16}]$

$=2{(x+\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{8}$

Nhận xét:

$2{(x+\frac{3}{4})}^2\ge 0$ $\forall$$x$

$\Rightarrow 2{(x+\frac{3}{4})}^2+\frac{7}{8}>0$ $\forall$$x$

Mà $x^3+2x^2+3x+2=y^3$

Nên: $x^3<y^3$

Giả sử: $y^3<{(x+2)}^3$

$\iff x^3+2x^2+3x+2<x^3+6x^2+12x+8$

$\iff -4x^2-9x-6<0$

$\iff -(4x^2+9x+6)<0$

$\iff 4x^2+9x+6>0$

$\iff 4(x^2+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64})+\frac{15}{16}>0$

$\iff 4(x^2+2.x.\frac{9}{8}+\frac{81}{64})+\frac{15}{16}>0$

$\iff 4{(x+\frac{9}{8})}^2+\frac{15}{16}>0$ (luôn đúng)

Vậy điều giả sử đúng hay $y^3<{(x+2)}^3$

Mà: $x^3<y^3$

Nên: $x^3<y^3<{(x+2)}^3$

Mà $y^3$ là lập phương của $1$ số nguyên, giữa $x^3$ và ${(x+2)}^3$ chỉ có duy nhất $1$ lập phương của số nguyên là ${(x+1)}^3$

Nên: $y^3={(x+1)}^3$

$\iff x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1$

$\iff -x^2+1=0$

$\iff 1-x^2=0$

$\iff (1-x)(1+x)=0$

$\iff$ $[\begin{array}{c}1-x=0\\ 1+x=0\end{array}$

$\iff$ $[\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}$

$+)x=1$ thì $y^3=1+2+3+2=8$

<=> y=2`

$+)x=-1$ thì $y^3=-1+2-3+2=0$

$\iff y=0$

Vậy $(x,y)=(1,2);(-1,0)$

\(x^3+2x^2+3x+2=y^3\left(1\right)\)

- Nếu \(x=0\Leftrightarrow y^3=2\) không tồn tại y nguyên

- Nếu \(x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\Rightarrow x^2-1\ge0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+2\)

\(\Leftrightarrow y^3=x^3+3x^2+3x+1-\left(x^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow y^3=\left(x+1\right)^3-\left(x^2-1\right)\le\left(x+1\right)^3\left(2\right)\)

Ta lại có 

\(y^3=x^3+2x^2+3x+2=x^3+\left[2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}\right)+2-\dfrac{9}{8}\right]\)

\(\Rightarrow y^3=x^3+\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]\)

mà \(\left[2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}\right]>0\)

\(\Rightarrow y^3< x^3\left(3\right)\)

\(\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow x^3< y^3\le\left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3\)

\(\left(2\right)\Rightarrow x^2-1=0\)

\(\Rightarrow x^2=1\)

\(\Rightarrow x=1;x=-1\)

Nếu \(x=-1\Rightarrow y=0\)

Nếu \(x=1\Rightarrow y=2\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(1;2\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài