Với y = 0 ta có: \(x^2=\frac{1}{2}\)=> M = 1/2 (1)

Với y khác 0

Ta có: \(M=x^2-xy+y^2=\frac{x^2-xy+y^2}{2x^2-xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{2\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}\)

Đặt: \(\frac{x}{y}=t\)

Ta có: \(M=\frac{t^2-t+1}{2t^2-t+1}\Leftrightarrow\left(2M-1\right)t^2+\left(1-M\right)t+M-1=0\)(1)

+) Nếu 2M - 1 = 0 <=> M = 1/2 (2) 

khi đó: t = 1

+) Nếu M khác 1/2

(1) có \(\Delta=\left(1-M\right)^2-4\left(2M-1\right)\left(M-1\right)=-7M+10M-3\)

Để (1) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)<=> \(\frac{3}{7}\le M\le1\)(3)

Từ (1); (2); (3) ta có GTNN của M = 3/7 

Dấu "=" xảy ra <=> t = 2 hay \(\frac{x}{y}=2\Leftrightarrow x=2y\)

Thay vào \(2x^2-xy+y^2=1.\) ta có: \(8y^2-2y^2+y^2=1.\)

<=> \(y=\pm\frac{1}{\sqrt{7}}\)

Với \(y=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{7}}\)

Với \(y=\frac{-1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{-2}{\sqrt{7}}\)

Kết luận vậy min M = 1 tại ( x ; y ) \(\in\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}}\right);\left(\frac{-2}{\sqrt{7}};\frac{-1}{\sqrt{7}}\right)\right\}\)

ĐK: x >= -5/2

\(x^2+6x+7=4\sqrt{2x+5}\)

<=> \(x^2+8x+16=2x+5+4\sqrt{2x+5}+4\)

<=> \(\left(x+4\right)^2=\left(\sqrt{2x+5}+2\right)^2\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x+2=\sqrt{2x+5}\\-x-6=\sqrt{2x+5}\end{cases}}\)Em làm tiếp nha!

Chứng minh tương đương

\(\left(3a+b\right)\left(2c+a+b\right)\le\left(2a+b+c\right)^2\)

<=> \(6ac+2bc+3a^2+ab+3ab+b^2\le4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac+2bc\)

<=> \(a^2+c^2-2ac\ge0\)

<=> \(\left(a-c\right)^2\ge0\)đúng với mọi a; b; c 

Vậy bdtban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a = c.

Theo AM-GM có: 

\(\left(3a+b\right)\left(2c+a+b\right)\le\frac{\left(4a+2b+2c\right)^2}{4}=\left(2a+b+c\right)^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> 3a+b=2c+a+b 

                          <=> a=c

tao vừa cho may boi vi tao thay no nguuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

   Gọi chữ số hàng chục là x (0<x<9)
   Gọi chữ số hàng đơn vị là y(0<y<9) 
         Vì tổng các chữ số bằng 6 ta có :
                           \(x+y=6\) (1)
         Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì được một số cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại nên ta có pt:
                         \(\left(10x+y\right)+18=10y+x\)
          \(\Leftrightarrow\)      \(9x-9y=-18\)    
          \(\Leftrightarrow\)        \(x-y=-2\) (2)
         Từ (1) và (2)  ta có hệ :
                   \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}}\)
giải ra ta được :\(\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\) (tm)
Vậy số tự nhiên có 2 chữ số đó là 24