Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
Ta CM : A= \(6n^5+15n^4+10n^3-n\) chia hết cho 30
+A = \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n^3-n\right)\)= \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) => A chia hết cho 3 với mọi n thuộc N
+A= \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+\left(n^4-n\right)\) = \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)=> A chia hết cho 2 .
+ A = \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+\left(n^5-n\right)\)= \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) chiaa hết cho 5 ( bạn chứng minh ccais cuối chia hết cho 5 = 5 TH)
=> A chia hết cho 2 .3.5 = 30
=> dpcm
Tham khảo nè:
1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2 < 2/3 chứng minh
k² > k² - 1 = (k-1)(k+1)
⇒ 1/k² < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*)
Áp dụng (*), ta có:
1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n²
< 1/2² + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)]
= 1/2² + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2
= 1/2² + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2
= 2/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 2/3
Ta có:
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
....................
\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1^2}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\)
\(=2-\frac{1}{n}\)
đpcm
Tham khảo nhé~
Đáp án của bạn ở đây: https://dethihsg.com/de-thi-hoc-sinh-gioi-toan-9-phong-gddt-cam-thuy-2011-2012/amp/
ta có ...=\(\frac{3n^5+5n^3+7n}{15}\)
ta có \(5n^3+7n=n\left(5n^2+7\right)\)
xét n chia hết cho 3 thì \(5n^3+7n⋮3\Rightarrow5n^3+7n+3n^5⋮3\)
xét n không chia hết cho 3 =>\(n^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow5n^2\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5n^2+7⋮3\)
=>\(5n^3+7n+3n^5⋮3\forall n\in Z\)
ta có \(3n^5+7n=n\left(3n^4+7\right)\)
xét n chia hết cho 5 =>\(3n^5+7n+5n^3⋮5\)
xét n không chia hết cho 5 =>\(n^4\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow3n^4\equiv3\left(mod5\right)\Rightarrow3n^4+7⋮5\)
=>\(5n^3+3n^5+7n⋮5\forall n\in Z\)
=>tử chia hết cho 15 => ... là số nguyên (ĐPCM)