Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT cô-si, ta được:
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\\\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
=> \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)
Vậy....
Biến đổi tương đương ta được :
\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\sqrt{a}^3+\sqrt{b}^3}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le a-\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)( đúng với đk )
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{2c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
BĐT trở thành: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\ge\frac{8}{\sqrt{x^2+y^2+\frac{z^2}{2}}}\)
Ta có: \(VT=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{x+y+z}=\frac{16}{x+y+z}\) (1)
\(\left(1.x+1.y+\sqrt{2}.\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2\le\left(1+1+2\right)\left(x^2+y^2+\frac{z^2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z\le2\sqrt{x^2+y^2+\frac{z^2}{2}}\)
\(\Rightarrow VP=\frac{8}{\sqrt{x^2+y^2+\frac{z^2}{2}}}\le\frac{16}{x+y+z}\)(2)
Từ (1); (2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{z}{2}\) hay \(a=b=\frac{c}{2}\)
đúng với mọi a,b chứ nhỉ
nếu a, b <0 VT>=0 VP<0 => đúng
Bp
\(\Leftrightarrow2.\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) hiển nhiên đúng=> dpcm
a/
\(=\frac{a+b}{b^2}.\frac{\left|a\right|.b^2}{\left|a+b\right|}=\frac{\left(a+b\right).b^2.\left|a\right|}{b^2\left(a+b\right)}=\left|a\right|\)
b/
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
Bài làm:
Ta có: \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\right)^2\ge\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\frac{a+b}{4}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{4}\ge\frac{\sqrt{ab}}{2}\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng (áp dụng Cauchy ngược)
=> đpcm
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)
Cộng 2 vế của (1) với a+b được
\(2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)(2)
Chia 2 vế của (2) cho 4 được: \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\left(đpcm\right)\)