Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt bài toán phụ : Chứng minh nếu \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thật vậy :
\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)
\(a+b=-c\)
\(b+c=-a\)
\(c+a=-b\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=-3\left(-c\right)\left(-b\right)\left(-a\right)\)
\(=3abc\)
Trở lại bài toán chính :
Ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow xy+xz+yz=0\)
\(\Rightarrow\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)=3\left(xy\right)\left(xz\right)\left(yz\right)=3x^2y^2z^2\)
Lại có:
\(P=\frac{xy.y^2x^2}{x^2y^2z^2}+\frac{xz.z^2.x^2}{x^2y^2z^2}+\frac{z^2.y^2.yz}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{\left(xy\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(xz\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(yz\right)^3}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)}{x^2y^2z^2}\)
Thay \(\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)=3x^2y^2z^2;\)ta có:
\(P=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}\)
\(=3\)
Vậy \(P=3.\)
Vì 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên lần lượt nhân vs x; y; z ta có:
1 + x/y + x/z = 0 (1)
1 + y/z + y/x = 0 (2)
1 + z/x + z/y = 0 (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra : x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = - 3 (*)
Mặt khác : 1/x + 1/y + 1/z = 0 nên quy đồng lên ta có:
(xy + yz + zx)/xyz = 0 hay xy + yz + zx = 0
Hay : (1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2).(xy + yz + zx) = 0
khai triển ra :
yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 + x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y = 0
Vậy : yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2 = - (x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y) = 3 (theo (*))
Đầu tiên cần chứng minh khẳng định sau : Nếu a + b + c = 0 thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thật vậy : Xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Áp dụng khẳng định trên với \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\)được
\(P=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
Chú ý : Đề bài cần thêm điều kiện x,y,z khác 0
Ta thấy rằng trong bài này nên áp dụng HĐT
Nếu a+b+c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Theo bài ra , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
Ta có :
\(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow A=xyz.\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)(Vì \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\))
Vậy A = 3
Chúc bạn hok tốt =))
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3=\frac{-1}{z^3}\)
\(\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^2y}+\frac{3}{xy^2}+\frac{1}{y^3}=-\frac{1}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{-3}{x^2y}-\frac{3}{xy^2}=\frac{-3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{3}{xyz}\)
\(\Rightarrow xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=\frac{3}{xyz}.xyz\)
\(\Rightarrow\frac{yz}{x^2}+\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}=3\)
khi gấp lên mấy lần thì nó vẫn bằng 0 nên biểu thức đó bằng 0