K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
21 tháng 3 2019
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
21 tháng 3 2019
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
LG
21 tháng 3 2019
\(1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o\)
7 tháng 4 2017
\(a\ge b\Leftrightarrow a^2\ge b^2\Leftrightarrow a^2-b^2\ge0\)
\(c\ge d\Leftrightarrow c^2\ge d^2\Leftrightarrow c^2-d^2\ge0\)
\(-ab+ac\le0\)
\(-ad-cd\le0\)
\(-bc+bd\le0\)
\(\Rightarrow2\left(-ab+ac-ad-cd-bc+bd\right)\le0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
Bằng nhau khi và chỉ khi a = b = c = d
Dấu lớn xảy ra khi a> b >c > d
***Mình chẳng hiểu bài làm của mình đâu. Mong bạn thông cảm. Bạn mà hiểu được thì qủa là thiên tài 
***********
LA
5 tháng 4 2019
a)
\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3\ge a^3+ab^2+a^2b+b^3\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3-a^3-ab^2-ab^2-a^3-b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì a , b > 0 nên BĐT trên đúng, mà các phép biến đổi là tương đương
=> ĐPCM
b) Ta có
\(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3ab^2+3a^2b\)
\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3-a^2b-ab^2\right)\ge0\)
Theo câu a , có phần trong ngoặc luôn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3-a^2b-ab^2\right)\ge0\)
Các phép biến đổi là tương đương => ĐPCm
5 tháng 4 2019
\(\left(a+b\right)^4=a^4+4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3+b^4\)
\(8\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3+b^4\)
\(\Leftrightarrow7\left(a^4+b^4\right)\ge4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow7a^4+7b^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^3\left(a-b\right)-4b^3\left(a-b\right)+3\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra
<=> a=b
\(\left(a^2+b^2\right)^2\ge ab\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4-a^3b-2a^2b^2-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
ND
31 tháng 3 2018
a.
Xét hiệu:
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\)
\(=a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2\)
\(=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
b.
Xét hiệu:
\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=\left(a^4-a^3b\right)-\left(b^4-ab^3\right)\)
\(=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
ND
31 tháng 3 2018
a)
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b)
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4-ab^3+b^4-a^3b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a^3-b^3\right)-b\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
c)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow1+b+a+ab-ab-2\sqrt{ab}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
d)
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2,\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)
Mặt khác ta có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (hệ quả bất đẳng thức AM-GM)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z;x,y,z>0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2019
a)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)
\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)
\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)
b)
Xét hiệu
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)
\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2019
c)
Xét hiệu:
\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)
\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)
\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
d)
Xét hiệu:
\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)
\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)
\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
23 tháng 4 2017
b) ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
- Thay \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow\)\(2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|x+y\right|\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
23 tháng 4 2017
- Áp dụng bđt: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
có: \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\) (1)
- Áp dụng tiếp bđt trên
có: \(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge a^2bc+ab^2c+c^2ab\) (2)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (3)
(1),(2),(3)\(\Rightarrow\) \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
BD
4 tháng 6 2016
a)Sắp xếp:a\(\ge\) b\(\ge\) c\(\ge\) 0
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)
=a(a-b)[(a-b)=(b-c)]-b(a-b)(b-c)=c(a-c)(b-c)
=a(a-b)2+a(a-b)(b-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)
=a(a-b)2+(b-c)(a-b)2+c(a-c)(b-c)\(\ge\) 0
Ta có
\(a^4+b^4+c^4-abc\left(a+b+c\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)-abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab+bc+ac\right)^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\right]-a^2bc-ab^2c-abc^2\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2+4a^2bc+4ab^2c+4abc^2-a^2bc-ab^2c-abc^2\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2+abc\left(4a+4b+4c-a-b-c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^4-2\left(a+b+c\right)^2.2\left(ab+bc+ac\right)+4\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2+abc\left(3a+3b+3c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^4-4\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ac\right)^2+3abc\ge0\)
Ap dung BDt co si ta co
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
\(b^4+c^4\ge2b^2c^2\)
\(c^4+a^4\ge2a^2c^2\)
=> \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(1)
Lai co \(a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\)
\(b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\)
\(c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)
=> \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(2)
Từ (1) va (2) => \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)