Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)
Ta có:
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+a^2b}\)
Ta có:
\(a^2c+b^2a+c^2b\le\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}}\)
\(ac^2+b^2c+a^2b\le\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}}\)
\(P\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng Côsi
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\Rightarrow\frac{a^3}{b}\ge2a^2-ab\ge2a^2-\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)\)
Tương tự
\(\frac{b^3}{c}\ge2b^2-\left(\frac{b^2+c^2}{2}\right);\frac{c^3}{a}\ge2c^2-\left(\frac{c^2+a^2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\right)=a^2+b^2+c^2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
a)Bạn đặt A = a/ (1 + a^2). => A + a^2A = a => a^2A - a + A = 0. ta có delta = 1 - 4A^2 ( gọi ẩn số là a). => để pt có nghiệm <=> 1 - 4A^2 >= 0 => để phương trình có nghiệm => 1 - 4A^2 >= 0 => 1 >= 4A^2 => A =< 1/2. => max A = 1/2. bạn giải tương tự B = b/(1+b^2), C = c/(1 + c^2) rồi cộng vào nhau là ra ngay thôi. Đây là cách giải bằng delta.
b)bạn có (a^2 - b^2)/c = ((a+b)(a-b))/c >= (c + c)(a-b)/c = 2(a - b). Bạn có c =< b ( theo đề bài) = > c + b =< 2b => (c + b) =<2b => (c + b)/b <= 2 => (c + b)/a <= 2. từ đó ta có (c^2 - b^2)/a = (c -b )(c + b)/a >= 2(c - b).
chứng minh tương tự:(a + c)/b > 1 => (a^2 - c^2)/b >= a - c.( sr ngại gõ lắm) => cộng 3 vế ta được đpcm