Question

[Feliks Zemdegs]

 Bài toán Hàn Tín điểm binh: Giải thích cách làm của Hàn Tín 
Khi Hàn Tín điểm binh, muốn biết quân số, ông cho xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi tính số người lẻ hàng. Nếu số người lẻ hàng theo thứ tự là a, b, c thì số quân bằng 70a + 21b + 15c bội của 105

Answer 1

[Nguyễn Đình Dũng]

Tục truyền rằng ngày xưa, Hàn Tín danh tướng của Hán Cao tổ dùng phép sau này để điểm binh: 
Bảo lính sắp hàng ba hàng năm và hàng bảy, rồi đếm hàng lẻ cuối cùng. Ghi những số lẻ ấy. 
Nhân số lẻ hàng ba cho 70, số lẻ hàng năm cho 21 và số lẻ hàng bảy cho 15, rồi cộng lại. 
Lấy số thành mà thêm bớt một bội số của 105 thì được số lính. 

Ví dụ sắp hàng ba lẻ 2; sắp hàng năm lẻ 3 và sắp hàng bảy lẻ 4. Theo phép trên thì số lính là: 
N = (2 x 70) + (3 x 21) + (4 x 15) + k.105 hay là 
N = 263 + k.105 k là một số nguyên, âm dương tùy đó, to nhỏ tùy đó. 
Muốn biết số N một cách chính xác thì phải biết chừng N trong khoảng 105 hoặc ít hơn. 

Như N chừng từ 800 đến 900 thì k là 6 và N = 263 + (6 x 105) hay là N = 893 

*NGUỒN GỐC CỦA QUY TẮC HÀN TÍN: 

Bài toán trên đây, ta có thể đặt như thế này: 

Một số S chia cho 3 còn a, chia cho 5 còn b, chia cho 7 còn c. Vậy chia cho 3 x 5 x 7 hoặc 105 còn bao nhiêu? 

Ta có thể viết theo ba phép chia như sau: 
S = 3.A + a 
S = 5.B + b 
S = 7.C + c 

a, b, c lần lượt kém 3, 5, 7 và cũng có thể là số không. 

Ta nhân hai vế đẳng thức đầu với 5.7.m ; được: 35.m.S = 105.m.A + 35.m.a 
Ta nhân hai vế đẳng thức thứ hai với 7.3.n; được: 21.n.S = 105.n.B + 21.n.b 
Ta nhân hai vế đẳng thức thứ ba với 3.5.p; được: 15.p.S = 105.p.C + 15.p.c 

Cộng ba đẳng thức mới được lại. Thành: 

(1) (35m + 21n + 15p). S = 105.(mA + nB + pC) + 35ma + 21nb + 15pc 

Ta sẽ tìm ba số nguyên m, n, p nghiệm đẳng thức sau đây: 

(2) 35m + 21n + 15p = 105k + 1 

Ta viết (2) như sau: 35m - 1 = 3(35k - 7n - 5p) 
=> 36m -(m+1) = 3(35k - 7n - 5p) 
=> m+1 chia hết cho 3 
=> m = 2 + 3M 

Ta quay trở lại đẳng thức (2) mà ứng dụng lý luận vừa dùng để kiếm n rồi kiếm p. Ta sẽ thấy: 
21n - 1 = 5.(21k - 7m - 3p) 
20n + (n-1) = (21k - 7m - 3p) 
=> n- 1 chia hết cho 5 
=> n = 1 + 5N 

Tương tự 
35m + 21n + 15p = 105k + 1 
=> 15p - 1 = 7(15k -5m -3n) 
=> 14p + p-1 = 7(15k -5m -3n) 
=> p + 1 chia hết cho 7 
=> p có dạng 
=> p = 1 + 7P 

Làm như thế, ta được vô số những số m, n, p nghiệm đẳng thức (2). 
Ta lấy ba số M = N = P = 0, ta được ba số: m = 2, n = 1, p = 1 gọn nhất. 
Thay nó vào đẳng thức (1) ta sẽ thấy: 

(105 + 1).S = 105.(2A + B + C) + 70a + 21b + 15c 
Hay là: S = 105.T + (70a + 21b + 15c) 

Vậy số S bằng 70a + 21b + 15c rồi thêm bớt một bội số của 105. 

Answer 2

[Nguyễn Nam Cao]

 Tục truyền rằng ngày xưa, Hàn Tín danh tướng của Hán Cao tổ dùng phép sau này để điểm binh: 
Bảo lính sắp hàng ba hàng năm và hàng bảy, rồi đếm hàng lẻ cuối cùng. Ghi những số lẻ ấy. 
Nhân số lẻ hàng ba cho 70, số lẻ hàng năm cho 21 và số lẻ hàng bảy cho 15, rồi cộng lại. 
Lấy số thành mà thêm bớt một bội số của 105 thì được số lính. 
Ví dụ sắp hàng ba lẻ 2; sắp hàng năm lẻ 3 và sắp hàng bảy lẻ 4. Theo phép trên thì số lính là: 
N = (2 x 70) + (3 x 21) + (4 x 15) + k.105 hay là 
N = 263 + k.105 k là một số nguyên, âm dương tùy đó, to nhỏ tùy đó. 
Muốn biết số N một cách chính xác thì phải biết chừng N trong khoảng 105 hoặc ít hơn. 

Như N chừng từ 800 đến 900 thì k là 6 và N = 263 + (6 x 105) hay là N = 893