Giải toán trên mạng

Fresh
Trả lời
10
Đánh dấu

21 tháng 11 2016 lúc 22:01

gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có 3 đường cao tương ứng ha,hb,hc. chứng minh rằng: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}>4\)

o l m . v n

Được cập nhật 6 tháng 12 2018 lúc 18:08

Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo
alibaba nguyễn 22 tháng 11 2016 lúc 14:14
Báo cáo sai phạm

Ta có:

\(S=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow p^2r^2=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)

\(\Leftrightarrow r^2=\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=\frac{p}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}+\frac{1}{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}+\frac{1}{\left(p-a\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{r^2}=4\left(\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}+\frac{1}{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4r^2}=\frac{1}{c^2-\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2-\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{b^2-\left(c-a\right)^2}\)

\(\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(áp dụng \(x^2-y^2\le x^2\)

\(\Rightarrow4r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\ge4\left(1\right)\)

Ta lại có

\(S=\frac{a.ha}{2}=pr=\frac{r\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(\Rightarrow ha=\frac{r\left(a+b+c\right)}{a}\)

\(\Rightarrow ha^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{a^2}\)

Tương tự

\(hb^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{b^2}\)

\(hc^2=\frac{r^2\left(a+b+c\right)^2}{c^2}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(ha^2+hb^2+hc^2=r^2\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}=\frac{1}{r^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\ge4\)

Bùi Thị Vân Quản lý 22 tháng 11 2016 lúc 14:27
Báo cáo sai phạm

Bài làm này thật xuất sắc !

Vu Thu Hang 8 tháng 4 2017 lúc 20:47
Báo cáo sai phạm

đúng vậy

alibaba nguyễn 22 tháng 11 2016 lúc 20:49
Báo cáo sai phạm

p = (a + b + c)/2

Còn r là bán kính đường tròn nội tiếp

Forever Miss You 2 tháng 2 lúc 22:53
Báo cáo sai phạm

hình vẽ tự vẽ nha.

Qua C vẽ Cx song song với AB.

Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx.

Suy ra \(\widehat{BAD}=90^0;CD=AB=b;AD=2h_c\)

Xét 3 điểm B,C,D ta có:\(BD\le BC+CD\)(bất đẳng thức tam giác)

\(\Delta BDA\)có \(\widehat{BAD}=90^0\),nên theo định lý pythagore ta có được:

\(AB^2+AD^2=BD^2\le\left(BC+CD\right)^2\)

\(\Rightarrow c+4h_c^2\le\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:\(a=b\)

Chứng minh tương tự,ta cũng có:

\(4h_a^2\le\left(b+c\right)^2-a\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:\(b=c\)

\(4h_b^2\le\left(a+c\right)^2-b\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:\(a=c\)

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức,ta được:

\(4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge4\left(đpcm\right)\)

Thiệu Gia Bảo 6 tháng 12 2018 lúc 20:28
Báo cáo sai phạm



Xét tam giác ABC có: AB = c, BC = a, AC = b.Từ A dựng đường thẳng d // BC. Lấy B' đối xứng 
với B qua d.Ta nhận thấy: BB' = 2.h . Ta có: 

BB′2+BC2=B′C2BB′2+BC2=B′C2 \leq (B′A+AC)2(B′A+AC)2 . Suy ra: 4.ha24.ha2 \leq (c+b)2−a2(c+b)2−a2 (1)

Hoàn toàn tương tự: 4.hb24.hb2 \leq (c+a)2−b2(c+a)2−b2 (2)

4.hc24.hc2 \leq (a+b)2−c2(a+b)2−c2 (3)

Từ (1)(2)(3) ta có: 

(c+b)2−a2+(c+a)2−b2+(a+b)2−c2(c+b)2−a2+(c+a)2−b2+(a+b)2−c2 \geq 4.(ha2+hb2+hc2)4.(ha2+hb2+hc2)

\Rightarrow (a+b+c)2(a+b+c)2 \geq 4.(ha2+hb2+hc2)4.(ha2+hb2+hc2) (dpcm)

Lệ Tuyền 7 tháng 9 2017 lúc 10:27
Báo cáo sai phạm

quá xuất sắc

Mạc Thu Hà 20 tháng 2 2017 lúc 16:44
Báo cáo sai phạm

alibaba giải theo toán casio còn đây là toán viết mà

Lê Mạnh Hùng 24 tháng 11 2016 lúc 14:49
Báo cáo sai phạm

Con Fresh ngây quá, p và r mà cũng k biết

Fresh 22 tháng 11 2016 lúc 20:35
Báo cáo sai phạm

p và r là gì vậy bạn??

Có thể bạn quan tâm

Toán lớp 10Đố vuiToán có lời vănToán lớp 11Toán đố nhiều ràng buộcToán lớp 12Giải bằng tính ngượcLập luậnLô-gicToán chứng minhChứng minh phản chứngQui nạpNguyên lý DirechletGiả thiết tạmĐo lườngThời gianToán chuyển độngTính tuổiGiải bằng vẽ sơ đồTổng - hiệuTổng - tỉHiệu - tỉTỉ lệ thuậnTỉ lệ nghịchSố tự nhiênSố La MãPhân sốLiên phân sốSố phần trămSố thập phânSố nguyênSố hữu tỉSố vô tỉSố thựcCấu tạo sốTính chất phép tínhTính nhanhTrung bình cộngTỉ lệ thứcChia hết và chia có dưDấu hiệu chia hếtLũy thừaSố chính phươngSố nguyên tốPhân tích thành thừa số nguyên tốƯớc chungBội chungGiá trị tuyệt đốiTập hợpTổ hợpBiểu đồ VenDãy sốHằng đẳng thứcPhân tích thành nhân tửGiai thừaCăn thứcBiểu thức liên hợpRút gọn biểu thứcSố họcXác suấtTìm xPhương trìnhPhương trình nghiệm nguyênPhương trình vô tỉCông thức nghiệm Vi-etLập phương trìnhHệ phương trìnhBất đẳng thứcBất phương trìnhBất đẳng thức hình họcĐẳng thức hình họcHàm sốHệ trục tọa độĐồ thị hàm sốHàm bậc haiĐa thứcPhân thức đại sốĐạo hàm - vi phânLớn nhất - nhỏ nhấtHình họcĐường thẳngĐường thẳng song songĐường trung bìnhGócTia phân giácHình trònHình tam giácTam giác bằng nhauTam giác đồng dạngĐịnh lý Ta-letTứ giácTứ giác nội tiếpHình chữ nhậtHình thangHình bình hànhHình thoiHình hộp chữ nhậtHình ba chiềuChu viDiện tíchThể tíchQuĩ tíchLượng giácNgữ văn 10Hệ thức lượngViolympicNgữ văn 11Ngữ văn 12Giải toán bằng máy tính cầm tayToán tiếng AnhGiải tríTập đọcKể chuyệnTập làm vănChính tảLuyện từ và câuTiếng Anh lớp 10Tiếng Anh lớp 11Tiếng Anh lớp 12

Có thể bạn quan tâm


Tài trợ

Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web hoc24.vn để được giải đáp tốt hơn.


sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức: