Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{3b\left(a+2b\right)}\le\frac{3b+\left(a+2b\right)}{2}\); \(\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\le\frac{3a+\left(b+2a\right)}{2}\)
=> M\(\le a\frac{a+5b}{2}+b\frac{5a+b}{2}\)=\(\frac{a^2+b^2+10ab}{2}\)\(\le\frac{6\left(a^2+b^2\right)}{2}\)( áp dụng 2ab\(\le a^2+b^2\))=3(a2+b2)\(\le\)6
dấu = khi a =b =1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq (a^2+b^2)[3a(a+2b)+3b(b+2a)]\)
\((a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq (a^2+b^2)(3a^2+3b^2+12ab)\)
Theo BĐT Cô-si: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 12ab\leq 6(a^2+b^2)\)
Do đó:
\((a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq (a^2+b^2)(3a^2+3b^2+6a^2+6b^2)=9(a^2+b^2)^2\)
Mà \(a^2+b^2\leq 2\)
\(\Rightarrow (a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq 9.2^2=36\)
\(\Rightarrow a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)}\leq \sqrt{36}=6\)
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a.\frac{3a+a+2b}{2}=2a^2+ab\)
Tương tự : \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\)
Cộng vế theo vế, ta được :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2\left(a^2+b^2\right)+2ab=4+2ab\le4+a^2+b^2\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
Ta có \(\sqrt{3b\left(a+2b\right)}\le\frac{1}{2}\left(3b+a+2b\right)=\frac{1}{2}\left(a+5b\right)\)
\(\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\le\frac{1}{2}\left(5a+b\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+10ab\right)\)
Mà \(ab\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{2}.2=1\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(2+10\right)=6\)
Vậy MaxP=6 khi a=b=1
có cả mấy bất đẳng thức đó hả
bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs
mk thanks
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(2\ge a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\Rightarrow ab\le1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left[3\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\)
\(\le2\left(3.2+12.1\right)=36\)
\(\Rightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ,TA CÓ:
\(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le\frac{3a+\left(a+2b\right)}{2}=2a+b\)\(\Leftrightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a\left(2a+b\right)=2a^2+ab\left(1\right)\)
(VÌ a,b khong âm). C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\left(2\right)\)
TA CÓ :\(2ab\le a^2+b^2\le2\left(3\right)\).TỪ (1),(2),(3) TA CÓ;
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2a^2+2b^2+ab+ab\le\)\(2\left(a^2+b^2\right)+2ab\le4+2=6\)
DẤU ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI a=b=1