Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\) với \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(B.C.S\) cho hai bộ số thực không âm gồm có \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\) và \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:
\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\) \(\left(2\right);\) \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) , suy ra:
\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
Ta có:
\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)
Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho \(\left(i\right)\) , ta có:
\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)
\(=6+6+6+72-8=82\)
Do đó, \(K\ge82\)
Suy ra \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
a) \(\sqrt{\dfrac{x-2\sqrt{x+1}}{x+2\sqrt{x+1}}}\) = \(\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}\) = \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\)
b) \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\)\(\sqrt{\dfrac{y-2\sqrt{y+1}}{\left(x-1\right)^4}}\)
= \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\) \(\sqrt{\dfrac{\left(y-1\right)^4}{\left(x-1\right)^4}}\)
= \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\)\(\dfrac{\left(\sqrt{y}-1\right)^4}{\left(x-1\right)^2}\)
= \(\dfrac{\sqrt{y-1}}{x-1}\)
Chúc bạn học tốt :3
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}{1-xy}\right):\left(\frac{x+y+2xy+1-xy}{1-xy}\right)\)
\(=\left(\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1-xy}\right)\)
\(=\frac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(1-xy\right)}.\frac{\left(1-xy\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
\(x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\)
\(\Rightarrow P=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5-2\sqrt{3}}=\frac{2+6\sqrt{3}}{13}\)
Ta có \(1-P=1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}\ge0\) \(\forall x\ge0\)
\(\Rightarrow1-P\ge0\Rightarrow P\le1\)
mình cũng ko biết đâu nhưng bài này mình thừơng đặt ẩn phụ
ĐẶT \(\sqrt{y}=t\Leftrightarrow y=t^2\) Thay vào biểu thức
\(\Leftrightarrow A=x^2-xt+x+t^2-t+1\)
\(\Leftrightarrow2A=2x^2-2xt+2x+2t^2-2t+2\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(x^2-2xt+t^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(t^2-2t+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(x-t\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(t-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow A\ge0\)
ĐẤU ''='' XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI \(x=t=1\Leftrightarrow x=y=1\)