Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a + b + c = 0 => (a + b + c)2 = 0 => a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca) (1)
=> (a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ca)2 (2) => a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(ab2c + abc2 + a2bc)).
=> a4 + b4 + c4 = 2a4b2 + 2b2c2 + 2c2a2 + 8abc(a + b + c)
a) => a4 + b4 + c4 = 2(a4b2 + b2c2 + c2a2) (ĐPCM - a)
b) Từ (1) => 2(ab + bc + ca) = -(a2 + b2 + c2 )
=> 4(ab + bc + ca)2 = (a2 + b2 + c2 )2 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2.
Thay từ (a) 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = a4 + b4 + c4
=> 4(ab + bc + ca)2 = 2(a4 + b4 + c4)
Hay a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 (ĐPCM - b)
c) Từ (2) (a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ca)2 = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(ab2c + abc2 + a2bc)) = 4(a4b2 + b2c2 + c2a2)+ 8abc(a + b + c)
=> (a2 + b2 + c2)2 = 4(a4b2 + b2c2 + c2a2) = 2(a4 + b4 + c4) (Từ a)
Hay a4 + b4 + c4 = 1/2 * (a2 + b2 + c2)2 (ĐPCM - c).
Ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\), với mọi a, b \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\); \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1\ge1\)
Từ đó suy ra đpcm
Ta có: x^4+y^4=a^4+b^4
=>x^4-a^4=b^4-y^4
=>(x^2-a^2)(x^2+a^2) = (b^2-y^2)(b^2+y^2)
=>(x-a)(x+a)(x^2+a^2) = (b-y)(b+y)(b^2+y^2) (1)
Ta lại có: x+y=a+b
=>x-a=b-y (2)
Từ (1) và (2) suy ra
(b-y)(x+a)(x^2+a^2) - (b-y)(b+y)(b^2+y^2) = 0
=>(b-y) [(x+a)(x^2+a^2) - (b+y)(b^2+y^2)] = 0
Nếu b=y thì x=a, suy ra x^n+y^n=a^n+b^n
Nếu (x+a)(x^2+a^2)-(b+y)(b^2+y^2)=0
=>(x+a)(x^2+a^2)=(b+y)(b^2+y^2)
=>x+a=b+y và x^2+a^2=y^2+b^2 (*)
=>x=b+y-a (3) và x^2+a^2=y^2+b^2 (4)
Thay (3) vào (4) ta được:
(b+y-a)^2+a^2=y^2+b^2
=>b^2+y^2+a^2+2by-2ab-2ay+a^2=b^2+y^2
=>2a^2+2by-2ab-2ay=0
=>a^2+by-ab-ay=0
=>a(a-b)-y(a-b)=0
=>(a-b)(a-y)=0
=>a=b hoặc a=y
Nếu a=b từ (*) suy ra x=y
=> x^n+y^n=a^n+b^n
Nếu a=y từ (*) suy ra x=b
=>x^n+y^n=a^n+b^n
Vậy x^n+y^n=a^n+b^n
Với mọi \(a,b\) thì ta luôn có: \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a+b\right)^4}{8}\)
Thật vậy, dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) \(\left(1\right)\) (dùng phép biến đổi tương đương)
Do đó, áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\), ta có: \(a^4+b^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\) \(\left(2\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(1\right)\), ta suy ra \(\left(a^2+b^2\right)^2\ge\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2\) (bình phương hai vế không âm)
nên \(\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{\left(a+b\right)^4}{4}\)
Chia cả hai vế luôn dương của bất đẳng thức trên cho \(2\), ta được:
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^4}{8}\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a+b\right)^4}{8}\) (điều phải chứng minh)
Mà \(a+b=4\) (theo giả thiết) nên \(a^4+b^4\ge\frac{4^4}{8}=32\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=2\)