Hỏi đáp bài tập

Đáp án B. 

Gọi I là trung điểm của SP. Theo định lý Talet:

$d_{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\left(HMN\right)$}\right.}=\frac{1}{2}{d}_{\raisebox{1ex}{$S$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\left(HMN\right)$}\right.}.$ Ta cần tính  $d_{\raisebox{1ex}{$S$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\left(HMN\right)$}\right.}.$

Bước 1: Tìm  $V_{S.HMN}$

Ta có: 

$\frac{V_{S.HMN}}{V_{S.HAD}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4};\frac{V_{S.HAD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}$

Giả sử a = 1

Dễ thấy 

$$\begin{gathered} V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD} \\ =\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$\Rightarrow V_{S.HMN}=\frac{1}{16}.\frac{1}{4}=\frac{1}{64}.$

Bước 2: Tìm $S_{HMN}.$ Ta có: $\stackrel{\to }{MH}=-\frac{1}{2}\stackrel{\to }{BS}$ và  $$\begin{gathered} \stackrel{\to }{MN}=\frac{1}{2}\stackrel{\to }{BC} \\ \Rightarrow HMN=180°-SBC. \end{gathered}$$

Do đó 

$$\begin{gathered} \sin HMN=\sin SBC \\ \Rightarrow S_{HMN} \\ =\frac{1}{2}MH.MN.\sin HMN \\ =\frac{1}{4}.S_{SBC}. \end{gathered}$$

Tam giác SBC có SB = BC = 1; 

$$\begin{gathered} SC=\sqrt{S{H}^2+H{C}^2} \\ =\sqrt{2}SH=\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \Rightarrow S_{SBC}=\frac{\sqrt{15}}{8}. \end{gathered}$$

Do đó  $S_{HMN}=\frac{1}{4}.\frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{32}.$

Bước 3: Sử dụng công thức: 

$$\begin{gathered} d_{\raisebox{1ex}{$S$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\left(HMN\right)$}\right.} \\ =\frac{3.V_{S.HMN}}{S_{HMN}} \\ =\frac{3}{64}.\frac{32}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{10} \\ \Rightarrow d_{\raisebox{1ex}{$I$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\left(HMN\right)$}\right.} \\ =\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{15}}{10}=\frac{\sqrt{15}}{20}. \end{gathered}$$