Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Qua A,C kẻ các đ/thẳng //EF cắt BD tại K,H
Xét tgiac AOK=COH ( OA=OC,AK//HC)
Suy ra OH=OK
Có AK//HC//EF theo Thales có
\(\frac{BA}{BF}=\frac{BK}{BM}\left(1\right),\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) có \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BK+BH}{BM}=\frac{BO-OK+BO+OH}{BM}=\frac{2BO}{BM}=4\)
+) Kẻ: AJ // CI //EF; I; J thuộc BD và M thuộc EF
Xét \(\Delta\)BAJ có: FM // AJ
=> \(\frac{BA}{BF}=\frac{BJ}{BM}\)
Xét \(\Delta\)BCI có: ME // IC
=> \(\frac{BC}{BE}=\frac{BI}{BM}\)
Từ hai điều trên => \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BJ}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BI+BJ}{BM}\)(1)
Xét \(\Delta\)AJO và \(\Delta\)CIO có:
OA = OC ( ABCD là hình bình hành)
^AOJ = ^COI ( đối đỉnh)
^AJO = ^CIO ( AJ // CI , so le trong )
=> \(\Delta\)AJO = \(\Delta\)CIO ( g-c-g)
=> JO = IO
KHi đó BI + BJ = BO + OI + BO - JO = 2 BO + (IO - JO) = 2 BO = 2.2. BM = 4BM ( vì M là trung điểm BO )
=> BI + BJ = 4BM Thế vào (1)
=> \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{4BM}{BM}=4\)(2)
+) Kẻ BH // BG //FK với H; G thuộc AC
Chứng minh tương tự như trên ta suy ra: \(\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=4\)(3)
Cộng (2) + (3) vế theo vế:
\(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}+\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=8\)mà AD = BC
=> \(AB\left(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}\right)+BC\left(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\right)=8\)(4)
Mặt khác: \(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}=\frac{1^2}{BF}+\frac{1^2}{AF}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{BF+AF}=\frac{4}{AB}\) và \(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\ge\frac{4}{BE+AK}\)
KHi đó: \(8\ge AB.\frac{4}{AB}+BC.\frac{4}{BE+AK}\)
<=> \(BE+AK\ge BC\)
Dấu "=" xảy ra <=> BF = AF và BE = AK
Hay F là trung điểm AB.
Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
+ Từ đẳng thức \(\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=4\) ta có thể viết được 1 đẳng thức
tương tự : \(\dfrac{AB}{AF}+\dfrac{AD}{AK}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}+\dfrac{AD}{AK}+\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=8\)
\(\Rightarrow AB\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)+BC\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{BE}\right)=8\)
+ Áp dụng bđt \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) ta có :
\(AB\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)+BC\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{BE}\right)\)
\(\ge AB\cdot\dfrac{4}{AF+BF}+BC\cdot\dfrac{4}{AK+BE}\)
\(\Rightarrow8\ge AB\cdot\dfrac{4}{AB}+4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)
\(\Rightarrow8\ge4+4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)
\(\Rightarrow4\ge4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{BC}{AK+BE}\) \(\Rightarrow AK+BE\ge BC\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AF=BF\\AK=BE\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) F là trung điểm của AB
* CM : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
+ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương
nên bđt đã cho luôn đúng
+ Kẻ AH // FE // CI \(\left(H,I\in BD\right)\)
+ ΔAOH = ΔCOI ( g.c.g )
=> OH = OI
=> BH + BI = BH + BO + OI
= BH + OH + BO = 2BO = 4BM
+ Xét ΔABH có AH // FM theo định lý Ta-lét ta có :
\(\dfrac{BA}{BF}=\dfrac{BH}{BM}\) (1)
+ Xét ΔBCI có CI // ME theo định lý Ta-lét ta có :
\(\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BI}{BM}\) (2)
+ Từ (1) và (2) => \(\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BH}{BM}+\dfrac{BI}{BM}=\dfrac{BH+BI}{BM}=\dfrac{4BM}{BM}=4\)
gfvfvfvfvfvfvfv555