TG
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
14 tháng 1 2020
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{2a+b+c}{a^2b\left(a+b+c\right)}\left(a-b\right)^2\ge0\)
hay \(\frac{a}{c^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{c^2}\ge\frac{2}{c}-\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 10 2019
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{3}+b^2+4c^2-ab-2bc-2ca>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+\left(b^2+4bc+4c^2\right)-a\left(b+2c\right)+\frac{a^2}{12}-6bc>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+\left(b+2c\right)^2-a\left(b+2c\right)+\frac{a^2-36bc}{12}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-2c\right)^2+\frac{a^3-36abc}{12a}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-2c\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}>0\) (1)
Do \(a^3>36\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a^3-36>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a^3-36}{12a}>0\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng
NV
0
17 tháng 11 2019
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\)
\(=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{cb+ba}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrowđpcm\)
T
17 tháng 11 2019
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a^3}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+c}.\frac{a^3}{b+c}.\frac{\left(b+c\right)^2}{8}}=\frac{3a^2}{2}\)
Rồi tương tự các kiểu:v
Suy ra \(2VT\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{8}\)
\(\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (chú ý \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\))
Không phải dùng tới Cauchy-Schwarz:D
7 tháng 4 2020
cho a b c 0 và a+b+c=3 CMR a/1+b^2 +b/1+c^2 +c/1+a^2 >=3/2
Áp dụng BĐT Cauchy - Schawrz dạng Engel, ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Vậy..