K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 7 2017

a/ \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

\(\Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{ab+ac+bc+c^2}\)

\(\Leftrightarrow-c=\sqrt{ab+ac+bc+c^2}\)

\(\Leftrightarrow c^2=ab+ac+bc+c^2\)

\(\Leftrightarrow ab+ac+bc=0\)

\(\Leftrightarrow ab=-c\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}=-c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)(đúng)

27 tháng 8 2017

bài 1

<=> \(\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}\)

sử dụng tiếp cauchy sharws

Bài 2: đặt a=x/y, b=y/x, c=z/x

22 tháng 7 2019

3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có

\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)

=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

22 tháng 7 2019

cảm ơn bạn nhiều, bạn có thể giúp mình hai câu kia nữa được không

22 tháng 9 2019

Qui đồng chứng minh tương đương là ra

NV
22 tháng 9 2019

\(a+b=2c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{a+b}{2}\\a-c=c-b\end{matrix}\right.\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}-\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-c}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+b}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020

Lời giải:

Đặt biểu thức vế trái là $P$

Hiển nhiên $a,b,c$ không thể cùng đồng thời bằng $0$

Nếu trong 3 số $a,b,c$ có 2 số bằng $0$ thì $ab+bc+ac=0$ (trái giả thiết)

Nếu trong 3 số $a,b,c$ có 1 số bằng $0$. Giả sử đó là $a$

Khi đó:

$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$ theo BĐT AM-GM $(*)$

Nếu cả 3 số $a,b,c$ đều lớn hơn $0$

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{b+c}{a}=\frac{b+c}{a}.1\left(\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}\right)^2\leq \left(\frac{a+b+c}{2a}\right)^2\Rightarrow \sqrt{\frac{b+c}{a}}\leq \frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq \frac{2b}{a+b+c}; \sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế thì $P\geq 2 (**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow$ đpcm.

NV
12 tháng 10 2020

1.

\(A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{6+2\sqrt{5}}}}{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{5}-4}}{\sqrt{5}-1+2}=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

b. Thôi nhìn biến đổi khủng thế này thì nhường bạn :))

2.

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng tính chẵn lẻ

\(\Rightarrow\) có ít nhất một trong 3 hiệu \(a-b\) ; \(a-c\) ; \(b-c\) là chẵn

\(\Rightarrow a+b+c\) chẵn

- Nếu a;b;c cùng số dư khi chia hết cho 3 thì \(a-b;a-c;b-c\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮27\Rightarrow a+b+c⋮27\)

Mà 27 và 2 nguyên tố cùng nhau nên \(a+b+c⋮\left(27.2=54\right)\)

- Nếu a;b;c chia 3 ra 3 loại số dư khác nhau là 0;1;2 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)

Đồng thời cả \(a-b;b-c;c-a\) đều ko chia hết cho 3

\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\)

- Nếu trong 3 số a;b;c có 2 số cùng số dư khi chia hết cho 3 và 1 số chia 3 khác số dư

\(\Rightarrow\) \(a+b+c⋮̸3\)

Trong khi đó ít nhất 1 trong 3 hiệu \(a-b;b-c;c-a\) sẽ có 1 giá trị chia hết cho 3 (do có 2 số cùng số dư khi chia 3)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\) ko thỏa mãn

Vậy \(a+b+c⋮54\)

NV
12 tháng 10 2020

2b

Câu này đề có sai ko bạn? Trong căn là \(2\sqrt{x+4}\) thì còn có lý

Pt như nguyên mẫu được biến đổi thành:

\(\left(x^2+6x+9\right)+\left(x-4-2\sqrt{x-4}+1\right)+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{x-4}-1\right)^2+8=0\)

Hiển nhiên vô nghiệm

3.

\(\frac{a}{a+1}\ge1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{b}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\) ; \(\frac{c}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân vế với vế: \(\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\ge8\)

NV
15 tháng 5 2020

Số dương thì sao \(a+b+c=0\) được? Chắc là \(a+b+c=1\) mới đúng

Khi đó:

\(VT=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\frac{2a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{2b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{2c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)

\(VT\ge\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" không xảy ra nên:

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)