Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{2}M=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(a^2+b^2\right)}+\sqrt{\left(b-c\right)^2+\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(c-a\right)^2+\left(c^2+a^2\right)}\ge\sqrt{2ab}+\sqrt{2bc}+\sqrt{2ca}\)\(\Leftrightarrow M\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b, b = c, c = a \(\Leftrightarrow\)a = b = c = \(\frac{1}{3}\)(vì a + b + c = 1).
Suy ra : \(M\ge\sqrt{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
Vậy GTNN của M là 1 khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
Tương tự, ta có:
\(M\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy swarchz ta có:
A=\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2} \)
Mà \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1 \)
=>\(A\ge\frac{1}{2} \)
Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=\(\frac{1}{3} \)
\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)
\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)
Với \(ab+bc+ca=1\) và a,b,c>0 ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\\\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\\\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\end{matrix}\right.\). Do đó:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=a+b\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=b+c\) ; \(\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}=c+a\)
\(\Rightarrow P=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P^2=4\left(a+b+c\right)^2\ge4.3\left(ab+bc+ca\right)=4.3.1=12\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(MinP=2\sqrt{3}\)