Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
Khi đó BĐT <=>
\(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)\)
<=> \(\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3\)
<=>\(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3\)(1)
Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)\)
<=> \(xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz\)
<=> \(x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0\)luôn đúng
Khi đó (1) <=>
\(\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3\)
<=> \(\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\)
Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có
\(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
BĐT <=> \(\sqrt{\frac{x+yz}{xyz}}+\sqrt{\frac{y+xz}{xyz}}+\sqrt{\frac{z+xy}{xyz}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)
Khi đó \(a+b+c=1\)
BĐT <=>\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
Ta có \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Khi đó \(VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3
BĐT cho tương đương với
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Với \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};a+b+c=1\)
Ta có:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}\)
\(=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự
\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
Từ đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=3
Ta cần chứng minh:\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\)
Mặt khác, ta có:
\(\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(\left(x+y+xy\right)+\left(y+z+yz\right)+\left(z+x+zx\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+xy+yz+zx\right)\)Lại có:
\(xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2\le3\left(6+3\right)=27\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\le3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Do đó \(\dfrac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).
Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ
\(RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì \(xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)
Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)
Thật vậy,BĐT tương đương với:
\(2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(x+y+z\ge3\) )
=> đpcm
Áp dụng: \(AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}\)với mọi A, B
Ta có:
\(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}\)
=> \(\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)
Tương tự
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\)
\(=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)\)
\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}\)
\(=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)(1)
Ta có: \(x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x, y, z
=> \(\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)
=> \(\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
=> \(x+y+z\ge3\)với mọi x, y, z dương
Và \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\)
Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\)
Đặt: x + y + z = t ( t\(\ge3\))
Xét hiệu: \(\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0\)với mọi t \(\ge3\)
Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)(2)
Từ (1); (2)
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1
Lời giải bài này khá dài, làm biếng gõ
Bạn lên google search "đề thi vào 10 chuyên khtn" nhé, đây là bài BĐT trong đề vòng 1 chuyên KHTN năm 2019
Ta có:
\( 1 + {x^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\\ 1 + {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\\ 1 + {z^2} = \left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) \)
Nên: \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} = \dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}}\)
\( \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} }} + \dfrac{z}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}\\ \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{y}{{y + z}} + \dfrac{z}{{x + z}} + \dfrac{z}{{y + z}}} \right) \)
Mặt khác, áp dụng $Bunhia$ ta có:
\({\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^2} \le \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{x}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 + {z^2}}}} \right) = M\)
Với \(M = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}\)
Lại có:
\( VP = \dfrac{2}{3}{\left( {\dfrac{x}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 + {z^2}}}} \right)^3} = \dfrac{2}{3}{\left( {\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}}} \right)^2}\\ VP \le \dfrac{{4\left( {x + y + z} \right)}}{{3\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}.\dfrac{3}{2} = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} \)
Vậy \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \dfrac{3}{2}{\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^2}\)
Dấu \("= "\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz\)
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Bình phương vế trái :
\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)
\(=\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)Bình phương vế phải :
\(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=\left(xyz+x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
Suy ra cần phải chứng minh : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)(*)
Thật vậy, theo bđt Bunhiacopxki ta có : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\)
\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)
Cộng các bđt trên theo vế ta chứng minh được (*) đúng.
Vậy bđt ban đầu được chứng minh.
Ý tưởng khác
Cũng từ giả thiết suy ra \(xyz=xy+yz+xz\)
Suy ra \(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\) do đó:
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{x}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại \(\sqrt{y+xz}\ge\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT được \(VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\) (Đpcm)
Áp dụng B.C.S ta có:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự cộng lại ta có dpcm.
Dấu = khi x=y=z=1
\(VT\ge\frac{9}{\Sigma_{cyc}\sqrt{xy+x+y}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(2x+2y+2z+xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left[6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}}=\sqrt{3}\)