Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Quy đồng full lên, hồi sáng e làm bên H O C 2 4 rồi, giờ chả muốn nhai lại.
\(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\frac{1}{x\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}+\frac{1}{y\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}+\frac{1}{z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì \(a^2+b^2+c^2=1\) Ta cần chứng minh:
\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)
\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)
Theo đánh giá bởi AM - GM ta có:
\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}\cdot2a^2\cdot\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)^2\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)
Tương tự rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh
Quy đồng full:v
\(P=\frac{\Sigma\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)\left(2z+1\right)}=\frac{4\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+3}{4\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)+8xyz+1}\)
\(=\frac{4\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)+3}{4\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)+9}\). Ta sẽ chứng minh: \(2\left(x+y+z\right)+9\le4\left(x+y+z\right)+3\)(1)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge6\Leftrightarrow x+y+z\ge3\). BĐT này đúng theo AM-GM \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
Do đó (1) đúng. Thay vào ta thu được \(P\ge1\)
Đẳng thức xảy r akhi x = y=z=1
Vậy..
HSG toán 9 Quảng Nam năm 2018-2019
Giải: Từ đẳng thức đã cho suy ra: \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\). Áp dụng (a+b)2 >= 4ab ta có:
\(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4\cdot\left(\frac{2x+y}{2}\right)\cdot\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left("="\Leftrightarrow x=y=z\right)\)
Ta có \(\sqrt{\left(2x-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(2x-1\right)+1}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le2\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
Tương tự \(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}},\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)Do đó:
\(A\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTLN của A=3 đạt được khi x=y=z=1
A=x^3 +y^3 +z^3+ 2(x/y+z +y/z+x +z/x+y) \(\ge x^3+y^3+z^3+2.\frac{3}{2}\) (bạn vào tìm BĐT nesbit là sẽ cm cái đằng sau >= 3/2)
Áp dụng cô si \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=3\)
===> A\(\ge3+3=6\) khi x=y=z=1
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
dễ thôi bn ơi
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+2x}+\frac{1+2x}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2x}.\frac{1+2x}{9}}=\frac{2}{3}\left(1\right)\\\frac{1}{1+2y}+\frac{1+2y}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2y}.\frac{1+2y}{9}}=\frac{2}{3}\left(2\right)\\\frac{1}{1+2z}+\frac{1+2z}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2z}.\frac{1+2z}{9}}=\frac{2}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)
Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:
\(P+\frac{3+2\left(x+y+z\right)}{9}\ge2\)
\(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{3+2\left(x+y+z\right)}{9}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{15+2\left(x+y+z\right)}{9}\left(4\right)\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)Thay vào (4) ta được:
\(P\ge\frac{15+2.3}{9}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{7}{3}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy ...