Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) CMR: Tứ giác DEIF là hình thoi:
Xét \(\Delta\)ADM: ^ADM=900, I là trung điểm AM => DI=AI=IM (1)
Xét \(\Delta\)AEM: ^AEM=900, I là trung điểm AM => EI=AI=IM (2)
Từ (1) và (2) => DI=EI (*)
Ta có: DI=AI (cmt) => \(\Delta\)AID cân tại I => ^IAD=^IDA hay ^IAD+^IDA=2.^IAD (3)
Tường tự: ^IAE=^IEA => ^IAE+^IEA=2.^IAE (4)
Nhận thấy: ^DIM là góc ngoài \(\Delta\)AID => ^DIM=^IAD+^IDA, thay (3) vào ta đc:
^DIM=2.^IAD (5)
^EIM là góc ngoài \(\Delta\)AIE = >^EIM=^IAE+^IEA, thay (4) vào ta đc:
^EIM=2.^IAE (6)
Từ (5) và (6) => ^DIM+^EIM=2.^IAD+2.^IAE => ^DIE=2.(^IAD+^IAE)=2.^DAE.
Mà ^DAE=^BAC/2=600/2=300 => ^DIE=2.300=600 (**)
Từ (*) và (**) => \(\Delta\)DIE là tam giác đều.
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\Delta\)DIF đều => Tứ giác DEIF là hình thoi (đpcm).
b) Đề sai, mình không thấy M,H,K thẳng hàng
Sửa: CMR MH,DI.EF đồng quy.
Gọi S là trung điểm của AH. O là giao điểm của DI và EF (3*)
Xét \(\Delta\)AMH: I là trung điểm AM, S là trung điểm AH
=> IS là đường trung bình \(\Delta\)AMH => IS//MH (7)
Do tứ giác DEIF là hình thoi (cmt) => DI và EF cắt nhau tại trg điểm mỗi đường
=> O là trung điểm của DI và EF.
Xét \(\Delta\)SID: O là trung điểm DI, H là trung điểm SD (H là trực tâm và cũng là trọng tâm \(\Delta\)ABC)
=> OH là đường trung bình \(\Delta\)SID => OH//IS (8)
Từ (7) và (8) => M,O,H thẳng hàng (4*)
Từ (3*) và (4*) => DI,EF,MH đồng quy (đpcm).
b/ Gọi G là giao điểm của AB và DF
Ta có :
Góc ACQ = góc AHQ ( t/g ACHQ n.t )
Góc ACQ = góc ADF ( 2 góc n.t chắn cung AF )
=> Góc AHQ = góc ADF
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị
Nên \(HQ//DF\)
Mặc khác \(HQ\perp AB\)tại Q
=> \(DF\perp AB\)tại G
Xét tứ giác GBNF ta có:\(B\widehat{G}F+B\widehat{N}F=180^0\)
=> Tứ giác GBNF nội tiếp =>\(N\widehat{G}F=N\widehat{B}F\)
Mà \(N\widehat{B}F=C\widehat{A}F\)( tứ giác ACBF n.t (O))
Nên \(N\widehat{G}F=C\widehat{A}F\left(1\right)\)
Xét tứ giác GMAF ta có: \(A\widehat{M}F=A\widehat{G}F\left(=90^0\right)\)
=> Tứ giác GMAF n.t =>\(M\widehat{A}F+M\widehat{G}F=180^0\left(2\right)\)
(1) và (2) => \(N\widehat{G}F+M\widehat{G}F=180^0\)
=> \(\overline{M,G,N}\)
Mà G là giao điểm của AB và DF
Nên MN,AB,DF đồng quy tại G
MN là đường thẳng simson nha bạn
Ta có ; \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)
=> D là điểm chính giữa cung BC
=> DO vuông góc với BC tại trung điểm H của BC
lại có: \(\Delta BDM~\Delta BCF\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{DM}{CF}\Rightarrow\frac{BD}{2BH}=\frac{\frac{1}{2}DA}{CF}\Rightarrow\frac{BD}{BH}=\frac{DA}{CF}\)
Mà \(\widehat{D_1}=\widehat{C_2}\)( bẹn chứng minh ở phần a nhé)
\(\Rightarrow\Delta BDA~\Delta HCF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{F_1}=\widehat{A_1}\)(2 góc tương ứng)
Mà A1=A2(gt) và A2=E1(cùng chắn 1 cung DC).
F1=E1=> tam giác EFHC nội tiếp
a) Gọi F' là giao điểm của AE và BC
MN//BC => \(\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\)
NE//F'C => \(\frac{EN}{FC}=\frac{AN}{AC}\)
=> \(\frac{EN}{F'C}=\frac{MN}{BC}=\frac{2EN}{2FC}=\frac{EN}{FC}\Rightarrow F'C=FC\)
mà F', F cùn thuộc cạnh BC
=> F' trùng F
=> A, E, F thẳng hàng
b) Xét tam giác BNC có: Flaf trung điểm BC; G là trung điểm BN
=> FG là đường trung bình tam giác BNC
=> FG//=1/2 NC
=> FG=9:2=4,5 cm
Xét tam giác BNM tương tự
có: EG//=1/2 BM
=> EG=12:2=6 cm
Ta lại có: EG//BM => EG//AB
FG //NC => FG//AC
Mà AB vuông AC
=> EG vuông FG
=> Tam giác EGF vuông tại G có: FG=4,5 cm và EG=6 cm
Áp dụng định lí pitago:
=> \(EF^2=GE^2+GF^2=4,5^2+6^2=7,5^2\)
=> EF=7,5
\(\widehat{EGF}=90^o\)
\(\cos\widehat{GEF}=\frac{GE}{EF}=\frac{6}{7,5}=\frac{4}{5}\Rightarrow\widehat{GEF}=arcos\frac{4}{5}\)
\(\cos\widehat{GFE}=\frac{GF}{EF}=\frac{4,5}{7,5}=\frac{3}{5}\Rightarrow\widehat{GFE}=arcos\frac{3}{5}\)
c) Ta có: MN//BC
=> \(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CN}=\frac{2GE}{2GF}=\frac{GE}{GF}\)
Xét tam giác vuông GEF và tam giác vuông ABC
có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{GE}{GF}\)
=> tam giác GEF đồng dạng với tam giác ABC