Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
vãi
a/ \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
b/Đặt biểu thức vế trái là Q
\(\frac{1}{a+b+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}\right)+\frac{1}{12}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\right)+\frac{1}{4}\)
Xét \(P=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+1}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+1}\)
\(P\le\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(P\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{4}.1+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
bài 1b
+)Nếu n chẵn ,ta có \(n^4⋮2,4^n⋮2\Rightarrow n^4+4^n⋮2\)
mà \(n^4+4^n>2\)Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số
+)nếu n lẻ đặt \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)
Ta có \(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=\left(n^2+2.4k\right)^2-2n^2.2.4^k\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}+2n.2^k\right)\left(n^2+2^{2k+1}-2n.2^k\right)\)
\(=\left(\left(n+2^k\right)^2+2^{2k}\right)\left(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}\right)\)
là hợp số,vì mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2
(nhớ k nhé)
Bài 2a)
Nhân 2 vế với 2 ta có
\(a^4+b^4\ge2ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Dẫu = xảy ra khi \(a=b\)
\(A=\frac{3}{x^4-x^3+x-1}-\frac{1}{x^4+x^3-x-1}-\frac{4}{x^5-x^4+x^3-x^2+x-1}\)
\(=\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x^3+1\right)}-\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^3-1\right)}-\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(=\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(=\left[\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\right]-\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(=\left[\frac{3\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\right]-\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)\(=\frac{3x^2+3x+3-x^2+x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(=\frac{2x^2+4x+2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}-\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(=\frac{2x^2+4x+2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}-\frac{4\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(=\frac{2x^2+4x+2-4x-4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}=\frac{2x^2-2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}=\frac{2\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(=\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)}=\frac{2}{x^4+x^2+1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{2}{x^4+x^2+1}\left(x\ne\pm1\right)\)
Ta có: \(x^4+x^2+1=\left(x^2\right)^2+2.x^2.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy A > 0 với mọi \(x\ne\pm1\)