Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Biểu thức này có vẻ chỉ tìm được min chứ ko tìm được max:
Min:
\(P^2=a+b+c+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(b+c^3a^3\right)}+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}+2\sqrt{\left(b+c^3a^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}\)
\(P^2\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\ge a+b+c=2\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\)
\(P_{min}=\sqrt{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;2\right)\) và các hoán vị
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.
áp dụng đẳng thức AM - GM cho 7 số :3 số \(a^7,3\) số \(b^7\) và số 1,ta có
\(3a^7+3b^7+1\ge7^7\sqrt{a^{21}.b^{21}1}=7a^7b^7\left(1\right)\)
tương tự
\(3a^7+3b^7+1\ge7b^3c^3\left(2\right)\);\(3c^7+3a^7+1\ge7c^3a^3\left(3\right)\)
công thức về các bất đẳng thức (1);(2);(3) ta được
\(6\left(a^7+b^7+c^7\right)+3\ge7\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(\Leftrightarrow6\left(a^7+b^7+c^7\right)+3\ge7.3\)
\(\Leftrightarrow a^7+b^7+c^7\ge3\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT cosi, ta có
\(\sqrt{3a+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{4+3a+1}{2}=\dfrac{3a+5}{4}\)
CMTT, ta có \(\sqrt{3b+1}\le\dfrac{3b+5}{4};\sqrt{3c+1}\le\dfrac{3c+5}{4}\)
Từ đó suy ra \(K\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+15}{4}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Vậy...
ta có BĐT \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{a\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0đúng\forall a\)
CMRTT, ta có
\(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{b\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{c\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
Do đó \(K\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+3=\sqrt{10}+2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3, b=c=0
Vậy...
xin lỗi nha MÌNH sai đề ở chổ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Em có cách này không biết đúng không.Nếu sai đừng chửi e nha!Em mới lớp 7 thôi.
Từ đề bài suy ra \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow a\left(3-a\right)\ge0\Leftrightarrow3a\ge a^2\)
Tương tự với b và c ta được:
\(K\ge\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}=P\left(a;b;c\right)\)
Đặt \(t=\frac{b+c}{2}\),ta có:
\(P\left(a;t;t\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
\(=P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Xét hiệu:
\(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\left(\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\right)-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (anh tự c/m,phải có cái này mới có dấu "=")
Suy ra \(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)\ge\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2+4}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}=0\) (Khai căn cái mẫu ra)
Từ đây suy ra \(P\left(a;b;c\right)\ge P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=P\left(a;t;t\right)\)
Mặt khác,kết hợp giả thiết suy ra \(a+2t=3\Rightarrow a=3-2t\)
Do đó,ta cần tìm min của: \(P\left(3-2t;t;t\right)=\sqrt{\left(3-2t\right)^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
Đến đây em bí rồi ạ,để em suy nghĩ tiếp.
Giải xong bài này ra chắc chết... "." chấm cái nhẹ hóng cao nhân!
Đặt \(a=x+y;b=y+z;c=z+x\)
Thì bài toán trở thành \(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)
\(< =>3-\frac{x}{2\left(2x+y\right)}-\frac{y}{2\left(2y+z\right)}-\frac{z}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)
\(< =>\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}\le1\)
\(< =>\frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}\le2\)
\(< =>3-\frac{y}{2x+y}-\frac{z}{2y+z}-\frac{x}{2z+x}\le2\)
\(< =>\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\ge1\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có :
\(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)hay \(a=b=c\)
Vậy bài toán đã được chứng minh xong
Tìm GTNN của P=a^7+b^7+c^7 biết a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3>=1 - Sasu ka