K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
8 tháng 8 2015
Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)
Với a, b > 0, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.
Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi
\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.
\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)
\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)
L
1
TN
31 tháng 7 2017
Ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4\Rightarrow a+b\ge2\)
Và \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\ge2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b+1}=a^3-\frac{a^3b}{b+1}\ge a^3-\frac{a^3b}{2\sqrt{b}}=a^3-\frac{a^3\sqrt{b}}{2}\)
Tương tự cho ta cũng có:\(\frac{b^3}{a+1}\ge b^3-\frac{b^3\sqrt{a}}{2}\)
\(\Rightarrow Q\ge a^3+b^3-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\left(1\right)\)
TIếp tục xài AM-GM: \(\sqrt{b}\le\frac{b+1}{2}\Rightarrow a^3\sqrt{b}=\frac{a^3b+a^3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\le\frac{\frac{a^3b+a^3}{2}+\frac{ab^3+b^3}{2}}{2}=\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\)
\(\Rightarrow2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\)
Cần chứng minh \(2-\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\ge1\)\(\Leftrightarrow\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^3b+ab^3+a^3+b^3\ge4\Leftrightarrow a^3b+ab^3\ge2\) vì \(a^3+b^3\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2\left(a+b\right)\ge2\) đúng vì ab=1 và \(a+b\ge2\)
\(\Rightarrow Q_{Min}=2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-1=1\)
Khi a=b=1
TN
1
25 tháng 10 2017
Đề bị thiếu rồi. Đáng lẽ phải có a + b = ??? đấy nữa chứ.
M
2
5 tháng 9 2018
\(P=\left(a+b\right)\left(1+\frac{1}{ab}\right)=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=a+b+\frac{4}{a+b}\)(bđt svacxo)
\(=a+b+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}>=2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)1}{a+b}}+\frac{3}{a+b}=2+\frac{3}{a+b}\)(bđt cosi) mà a+b<=1\(\Rightarrow\frac{3}{a+b}>=\frac{3}{1}=3\)
\(\Rightarrow2+\frac{3}{a+b}>=2+3=5\)
dấu = xảy ra khi \(a+b=\frac{1}{a+b}\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow a+b=1\)
vậy min P là 5 khi a+b=1
5 tháng 9 2018
sửa lại nhé
dấu = xảy ra khi \(a+b=\frac{1}{a+b}\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow a+b=1;a=b,a+b=1\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
vậy min P là 5 khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021
Lời giải:
\(P=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{(a+b)^3-3ab(a+b)}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{1-3ab}+\frac{1}{ab}\)
\(=\frac{1}{1-3ab}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3ab+3ab}=(1+\sqrt{3})^2\) theo BĐT Cauchy-Schwarz
Vậy \(P_{\min}=(1+\sqrt{3})^2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2021
pro2k7trần đưc thái: dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{1-3x}=\frac{1}{\sqrt{3}x}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\Leftrightarrow ab=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\)
Kết hợp $a+b=1$ thì theo Viet đảo em có:
\((x,y)=(\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}; \frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6})\) và hoán vị.