K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 6 2019

#)Giải :

Ta có : \(P=a^4+b^4+2-2-ab\)

Áp dụng BĐT cô si, ta có : 

\(a^4+1\ge2a^2\)dấu = xảy ra khi a = 1

\(b^4+1\ge2b^2\)dấu = xảy ra khi b = 1

Khi đó \(P\ge2a^2+2b^2-2-ab\)

           \(P\ge2\left(a^2+b^2+ab\right)-2-3ab\)

           \(P\ge4-3ab\)( thay \(a^2+b^2+ab=3\)vào ) (1)

Mặt khác \(a^2+b^2\ge2ab\)

Khi đó \(a^2+b^2+ab=3\ge2ab+ab=3ab\)

\(\Rightarrow ab\le1\)(2)

Từ (1) và (2)

Ta có : \(P\ge4-3ab\ge4-3=1\)

Vậy P đạt GTNN là 1 khi a = b = 1

                #~Will~be~Pens~#

12 tháng 8 2023

 

Ta có:

P = a + b + c a + b + a + b = 2(a + b) 2(-1) = -2

Ta cũng có:

P = a + b + c a + b + c - 2abc a + b + c - 2(-1)(-1)(-1) = -3

Vậy GTNN của P = -3 và GTLN của P = -2.

28 tháng 7 2021

https://tuhoc365.vn/qa/cho-bieu-thuc-p-a4-b4-ab-voi-ab-la-cac-so-thuc-thoa-man-a2-b2-ab-3-tim-gia-tri-lon/

Bạn có thể tham khảo ở đây nha. 

NV
26 tháng 1 2022

\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)

\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)

Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)

\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)

NV
31 tháng 1 2021

\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)

\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)

Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)

\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)

\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)

\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị

22 tháng 6 2021

thế bạn bt hok

NV
8 tháng 12 2021

Do \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\b^{2011}\le b\\c^{2011}\le c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T\le a+b+c-ab-bc-ca=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+1-abc\le1-abc\le1\)

\(T_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

NV
13 tháng 8 2021

Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

21 tháng 9 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

a 2 + b 2 ≥ 2 a b ,   b 2 + c 2 ≥ 2 b c ,   c 2 + a 2 ≥ 2 c a  

Do đó:  2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9

Dấu bằng xảy ra khi  a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi  a = b = c = 3

Vì  a ,   b ,   c   ≥ 1 , nên  ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b

Tương tự ta có  b c + 1 ≥ b + c ,   c a + 1 ≥ c + a  

Do đó  a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6

Mà   P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18

⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1

Vậy maxP= 18 khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1