Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét số hạng tổng quát \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\) . Vì \(0
Xét số hạng tổng quát \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}vif0<\frac{1}{n}<1nen1<1+\frac{1}{n}<2\Rightarrow\sqrt[n+1]{1}<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt[n+1]{2}<\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow1<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt{2}\approx1,41\) => phần nguên các số có dạng \(\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=1\)
=> vậy a có n số hạng => 1+1+1+...+1=n
Ta có: \(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\) với \(k=1,2,...,n\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\) số ta có:
\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1.1...1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}\)
\(< \frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)
Suy ra \(1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< 1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt cho \(k=1,2,3,...,n\) rồi cộng lại ta được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}< n+1-\frac{1}{n}< n+1\)
Vậy \(\left[a\right]=n\)
Tính và so sánh :
Giải :Tính và so sánh :