Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sủa đề \(cmr:a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge5\)
\(a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\left(a+a+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b+b+\frac{1}{b^2}\right)-\left(a+b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(a+a+\frac{1}{a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{a^2}}=3\)
\(b+b+\frac{1}{b^2}\ge3\sqrt[3]{b.b.\frac{1}{b^2}}=3\)
\(\Rightarrow\left(a+a+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b+b+\frac{1}{b^2}\right)-\left(a+b\right)\ge3+3-1=5\)(đpcm)
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau
ta có \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4ab}\ge1\Rightarrow\frac{8}{4ab}\ge8\) hay \(\frac{2}{ab}\ge8\)
ta có
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\\ =1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\\ =1+\frac{a+b+1}{ab}\\ =1+\frac{2}{ab}\ge1+8=9\)
(đpcm)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta được
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân 2 vế của bất đẳng thức trên lại ta được đpcm
Dấu ''='' <=> a = b = c
ko dùng đến BĐT cauchy cx dc!
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=1+1+1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
\(=3+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Ta có:\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\),thật vậy:
Gỉa sử \(a\ge c\),khi đó:\(a=c+m\)
\(\Rightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=\frac{c+m}{c}+\frac{c}{c+m}=1+\frac{m}{c}+\frac{c}{c+m}\ge1+\frac{m}{c+m}+\frac{c}{c+m}=1+\frac{m+c}{m+c}=1+1=2\)
Chứng minh tương tự,ta được:
\(\hept{\begin{cases}\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\\\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge6\)
\(\Rightarrow3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge9\left(đpcm\right)\)
\(VT\ge a+b+c+\frac{18}{a+b+c}\)
\(VT\ge a+b+c+\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{a+b+c}\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}}+\frac{9}{3}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)
Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)
Đặt A là biểu thức cần CM
ví dụ Từ ĐK a + b + c = 3 => a² + b² + c² ≥ 3 ( Tự chứng minh )
Áp dụng BĐT quen thuộc x² + y² ≥ 2xy
a^4 + b² ≥ 2a²b (1)
b^4 + c² ≥ 2b²c (2)
c^4 + a² ≥ 2c²a (3)
a ) Ta có :
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right).\)
Ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\) với \(x,y\) dương . Do đó \(A\ge3+2+2+2=9.\)
Vậy \(A\ge9.\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)
b ) Áp dụng BĐT ở câu a : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\) trong đó \(x,y,z>0\).Với \(x=b+c,y=a+c,z=a+b\) ta được :
\(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge4,5\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge1,5\)
Xảy ra đẳn thức khi và chỉ khi \(a=b=c.\)
sửa lại câu a
Áp dụng BĐT AM-GM 3 số dương ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có Đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nếu dùng đạo hàm thì làm thế này
Có \(P=a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{ab}+\frac{2}{ab}\left(Cauchy\right)\)
(Dấu '=' khi a = b)
Đặt \(0< t=\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\frac{1}{2}\)thu được
\(P\ge f\left(t\right)=2y+\frac{2}{t^2}=16t+16t+\frac{2}{t^2}-30t\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge3\sqrt[3]{2^9}-\frac{30}{2}=24-15=9\)
Dấu "=" khi \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)