Question

[Nguyễn Anh Thư]

Chứng minh phân số sau đây tối giản: \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)

Answer 1

[Võ Lê Hoàng]

Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d =>  n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d 

 => n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d 

do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết cho d  hay n^2 +1 chia hết cho d (1)

=> (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d  

=>  (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2+1) chia hết cho d hay n^2 chia hết cho d (2)

Từ (1) và (2) => (n^2+1) - n^2 chia hết cho d  hay 1 chia hết cho d  

Do đó  (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) =1 hoặc -1 suy ra \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản (Đ.P.C.M)

Answer 2

[Trịnh Thị Minh Ngọc]

Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d =>  n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d 

 => n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d 

do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết cho d  hay n^2 +1 chia hết cho d (1)

=> (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d  

=>  (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2+1) chia hết cho d hay n^2 chia hết cho d (2)

Từ (1) và (2) => (n^2+1) - n^2 chia hết cho d  hay 1 chia hết cho d  

Do đó  (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) =1 hoặc -1 suy ra $\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$n3+2nn4+3n2+1  là phân số tối giản (Đ.P.C.M)