Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-xy^3-x^3y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{3}{4}y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\right]\ge0\)(đúng)
\("="\Leftrightarrow x=y\)
\(x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\\ \Leftrightarrow x^4-xy^3+y^4-x^3y\ge0\\ \Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\\ \)
Ma \(\left(x-y\right)^2\ge0\left(\forall x,y\right)\\ x^2+xy+y^2>0\left(\forall x,y\right)\)\(\Rightarrow x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\left(\forall x,y\right)\left(dpcm\right)\)
Đề là CMR $x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4> x^2+y^2$ thì đúng hơn bạn ạ.
Lời giải:
Ta có:
$\text{VT}=(x^4+y^4-x^3y-xy^3)+x^2y^2$
$=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)+x^2y^2\geq x^2y^2$
Mà:
$x^2y^2=\frac{x^2y^2}{2}+\frac{x^2y^2}{2}> \frac{x^2.2}{2}+\frac{2.y^2}{2}=x^2+y^2$ do $x^2> 2, y^2>2$
Do đó: $\text{VT}> x^2+y^2$ (đpcm)
Ta có (x10 - y10) = (x5 + y5)(x5 - y5) = (x5 - y5)(x + y)(x4 - x3 y + x2 y2 - xy3 + y4)
Xong
\(2\left(x^4+y^4\right)\ge xy^3+x^3y+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)+\left(x^4-x^3y\right)+\left(y^4-xy^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+x^3\left(x-y\right)+y^3\left(y-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{2}\right]\ge0\) ( đúng )
đối với các câu này bạn hãy khai triển phần nào dài bằng hàng dẳng thức rồi thu gọn lại nếu đúng thì vế trái bằng vế phải
Ta có \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\) thì:
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y\in Z\) nên \(x^2\in Z,\)\(5xy\in Z,\)\(5y^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(x^2+5xy+5y^2\in Z\)
Vậy A là số chính phương.
\(x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\)
\(x^4+y^4-xy^3-x^3y\ge0\)
\(x^3\left(x-y\right)+y^3\left(y-x\right)\ge0\)
\(x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
Dễ dàng c/m được \(x^2+y^2>xy\Rightarrow\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\left(đpcm\right)\)
Cái chỗ \(x^2+y^2>xy\)phải là \(x^2+y^2\ge0\)nha -_-"
Dấu "=" <=> x=y=0
Chứng minh nè :
\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\ge2xy\ge xy\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=0
:))