Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A = a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a+b)3 - 3ab(a+b) + c3 - 3abc
= (a+b+c)(a2 + 2ab + b2 -ac -bc + c2) - 3ab (a+b+c)
=(a+b+c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
a+ b + c > 0 (dựa giả thiết)
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac > 0 (*)
Chứng minh (*)
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\)
\(a)\) Ta có :
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^3=0^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3+3.\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3=3abc\) ( đpcm )
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Chúc bạn học tốt ~
a, a+b+c=0 => a+b=-c
=>(a+b)3=(-c)3
=>a3+3a2b+3ab2+b3=-c3
=>a3+3ab(a+b)+b3=-c3
Mà a+b=-c
=>a3-3abc+b3=-c3
=>a3+b3+c3=3abc (đpcm)
b, \(P=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)
mà a3+b3+c3=3abc (bài a)
\(\Rightarrow P=\frac{3abc}{abc}=3\)
Vậy P=3
phân tích a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
=>a=b=c(vì a+b+c khác 0)
thay a=b=c vào P
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=2.2.2=8\)