Question

[Bao Ngoc Duong Vu]

Đề: cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tai O. goi M,N là trung điểm OD,OB . AM cắt DC tai E , CN cắt AB tai F.

a, c/m AMCN là hình bình hành

b, c/m E đối xứng với F qua O

c, c/m: AC,BD,EF đồng quy ( chúng cắt nhau tai 1 điểm)

d, c/m DE=\(\frac{1}{2}\) EC

e, hình bình hành ABCD có thêm điều kiên gì để tứ giác AMCN là hình chữ nhât

vẽ hình minh hoa

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

a) Ta có:

+) M là trung điểm OD

\(\Rightarrow MD=MO=\frac{1}{2}OD\)

N là trung điểm OB

\(\Rightarrow NB=NO=\frac{1}{2}OB\)

Mà OD=OB ( O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD)

Suy ra ON=OM=NB=MD (1)

Ta lại có OA=OC

Tứ giác AMCN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành

b) AMCN là hình bình hành =>NC//AM=> FC//AE mà AF//EC

Vậy suy ra AFCE là hình bình hành

O là trung điểm AC => O là trung điểm EF=> E đối xứng với F qua O

c) AC, BD, EF đều qua O nên đồng quy

d) Xét tam giác DNC có NC//ME

\(\Rightarrow\frac{DE}{EC}=\frac{DM}{MN}\)

Mà DM=OM=ON ( theo 1)

=> \(DM=\frac{1}{2}MN\)

=>\(\frac{DE}{EC}=\frac{DM}{MN}=\frac{1}{2}\Rightarrow DE=\frac{1}{2}EC\)

e) Để hình bình hành AMCN là hình chữ nhật thì MN=AC 

Mà \(MN=\frac{1}{2}BD\)nên \(AC=\frac{1}{2}BD\)

Vậy ABCD cần điều kiện là \(AC=\frac{1}{2}BD\)thì AMCN là hình chữ nhật