Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tự vẽ hình nha ^^
a) Ta có: AB=CD (gt), mà E,F lần lượt và trung điểm của AB và CD.
=> EA=EB=FD=FC
Ta có: AB song song => EA song song FC
Ta có EA=FC và EA song song FC
=> AECF là hình bình hành.
Tương tự chứng minh BEDF là hình bình hành.
b) Kẻ EF.
Ta có: EA=FD (cmt); AB song song CD => EA song song FD
=> AEFD là hình bình hành
Tương tự chứng minh EBCF là hình hình hành.
Ta có: E là trung điểm AB
K là trung điểm của BF (hai đường chéo EC và BF của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
=> KE là đường trung bình của tam giác ABF
=> KE song song AF và KE=1/2 AF (1)
Ta có hai đường chéo AF và DE của hình bình hành AEFD => I là trung điểm của AF => IF=1/2 AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra IF=KE và KE song song AF
=> EIFK là hình bình hành
c) Xét hình bình hành ABCD có AC và BD là hai đường chéo => AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (1)
Xét hình bình hành AEFC có hai đường chéo là EF và AC => EF và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC, BD, EF cùng đi qua một diểm.
d) Giả sử EIFK là hình vuông.
=> IF = IE
Mà IF=IA, IE=ID (hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
=> IE=ID=IA=IF
=> AF=DE
Hình bình hành AEFD có hai đường chéo bằng nhau => là hình chữ nhật.
=> DAE= 90 độ
Ta có hình bình hành ABCD có một góc vuông => là hình chữ nhật.
Vậy để EIFK là hình vuông thì ABCD phải là hình chữ nhật.
e) Gọi giao điểm của AC và DB là O
Ta có DO là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của tam giác DAC
AF là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác DAC
DO và AF cắt nhau tại M
=> M là trọng tâm của tam giác DAC
=> DM=2/3 DO, MO=1/3 DO (1)
Tương tự chứng minh NB=2/3 BO và NO=1/3 BO (2)
Ta có OB=OD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra DM=NB
Ta có MN=MO+NO=1/3 DO+ 1/3 BO= 2/3 DO = 2/3 BO
=> DM=MN=NB
(((Làm theo hướng đó đúng rồi.. Tiếp nà )))
HFCE là hình bình hành (tự c/m)
=> \(\hept{\begin{cases}HF\text{//}EC\\HF=EC\left(1\right)\end{cases}}\)
Mà EC//AK => HF//AK
=> Δ ANK = Δ FNH (g.c.g)
=> AK=HF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK=EC. Mà AK//EC
=> Tứ giác AKCE là hình bình hành có O là trung điểm của AC
=> O cũng là trung điểm của EK
=> Đpcm...
Ta thấy : 4 điểm A ; F ; C ; E cùng thuộc đường tròn đường kính AC .
Vì trung trực của EF cắt AC tại O nên O là trung điểm AC .
Ta có : OM , AH cùng vuông góc với EF nên OM // AH
=> M là trung điểm CH ( Vì O là trung điểm của AC )
Do đó , tứ giác CFHE có tâm đối xứng M hay CFHE là hình bình hành .
Suy ra : HF // CE // AK
Dễ chứng minh △HNF = △KNA ( g.c.g )
Suy ra : Tứ giác AHFK là hình bình hành .
Vậy : AK = HF = CE , kết hợp với AK // CE , AK vuông góc với AE .
Suy ra : CKAE là hình chữ nhật .
Vì O là trung điểm đường chéo AC nên O là tâm của hình chữ nhật CKAE hay K , O , E thẳng hàng ( đpcm )
Thử nhé: Gọi O' là trung điểm của AC.
Tam giác vuông AEC và AFC có trung tuyến lần lượt là EO' và FO' nên O'E=O'F (=1/2AC).
Suy ra: O'EF là tam giác cân. Mà O'M là đường trung tuyến của tam giác O'EF.
nên O'M là đường trung trực của EF.
Vậy O và O' đều là giao điểm của đường trung trực của EF với AC nên O trùng O'. Suy ra O là trung điểm của AC.
Xét tam giác ACH có OA=OC và OM song song AH nên CM=HM.
Xét tứ giác CEHF có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hbh. Đến đay làm sao?