Question

[Incursion_03]

Cho ½ (O;R) đường kính BC . Lấy các điểm M , N trên cung BC sao cho các cung BM , MN , NC bằng nhau . Lấy D và E thuộc BC (  D thuộc đoạn  BE ) . MD và NE cắt nhau tại A .

CMR : Tam giác ABC đều thì BD = DE = EC và ngược lại

(Ở đây mk  vẽ ko chuẩn SRY nha ! ) 

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

+) Chứng minh: \(\Delta\)ABC đều => BD=DE=EC ?

Ta thấy đường tròn (O) có các cung \(\widebat{BM}=\widebat{MN}=\widebat{NC}\) => ^BOM = ^MON = ^NOC 

Mà ^BOM + ^MON + ^NOC = 180⁰ => ^BOM = ^MON = ^NOC = 60⁰

=> Các tam giác: \(\Delta\)BOM; \(\Delta\)MON; \(\Delta\)NOC đều

=> BM = OB = 1/2.BC. Mà \(\Delta\)ABC đều nên BM = 1/2.AC hay \(\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}\)

Do \(\Delta\)BOM đều nên ^OBM = 60⁰ hay ^MBC = 60⁰ => ^MBC = ^ACB = 60⁰ (Do \(\Delta\)ABC đều)

=> BM // AC (2 góc so le trong bằng nhau)

Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{BM}{AC}=\frac{BD}{CD}\). Mà \(\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}\)(cmt)

=> \(\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}\)=> BD=1/3.BC . Tương tự: CE=1/3.BC

Từ đó: BD=CE=DE (=1/3.BC) (đpcm).

+) Chứng minh BD=DE=EC => \(\Delta\)ABC đều ?

Dễ thấy tứ giác BMNC là hình thang (cân) => MN // BC hay MN // DE

Ap dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{DE}{MN}=\frac{AE}{AN}\)(1).

Ta có: BD=DE=EC=1/3.BC => \(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}\)=> \(\frac{DE}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{DE}{OB}=\frac{2}{3}\)

Lại có: OB = MN (Do 2 tam giác BOM và MON đều) => \(\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AE}{AN}=\frac{2}{3}\)

Mặt khác \(\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{AE}{AN}=\frac{BE}{BC}\)=> CN // AB (ĐL Thales đảo)

=> ^BCN = ^ABC (2 góc so le trg).

Mà ^BCN (=^OCN) = 60⁰ (Do \(\Delta\)NOC đều) => ^ABC = 60⁰.

Lập luận tương tự, ta cũng có: ^ACB = 60⁰. Do đó \(\Delta\)ABC đều (đpcm).

Answer 2

[Incursion_03]

\(\text{Cám ơn Kuro Được OLM k sướng nhá :D}\)