Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a(a−x)2+b(b−x)2 (1)
=(a+b)x2−2x(a2+b2)+a3+b3
+) a+b=0⇒pt(1)có một nghiệm⇒|a|=|b|
+) a+b≠0
Xét Δ'=a4+2a2b2+b4−a4−ab3−a3b−b4
=2a2b2−ab3−a3b=ab(a−b)2
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : Δ'=0⇒a−b=0⇒|a|=|b|
Thực hiện khai triển , PT đã cho tương đương với
\(\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+\left(a^3+b^3\right)=0\left(^∗\right)\)
Nếu \(a+b=0\) thì
\(a^2+b^2\ne0\) với mọi a , b \(\ne0\) . PT (*) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2\left(a^2+b^2\right)}\) ( thỏa mãn yêu cầu )
\(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(1\right)\)
Nếu \(a+b\ne0\)
PT (*) là PT bậc 2 ẩn x có nghiệm duy nhất khi mà
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2-ab^3-a^3b=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
Vì \(a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Chúc bạn học tốt !!!
Lời giải:
Thực hiện khai triển, PT đã cho tương đương với:
$(a+b)x^2-2x(a^2+b^2)+(a^3+b^3)=0(*)$
Nếu $a+b=0$:
$a^2+b^2\neq 0$ với mọi $a,b\neq 0$. PT $(*)$ có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2(a^2+b^2)}\) (thỏa mãn yc)
$a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow |a|=|b|(1)$
Nếu $a+b\neq 0$:
PT $(*)$ là PT bậc 2 ẩn $x$ có nghiệm duy nhất khi mà:
$\Delta'=(a^2+b^2)^2-(a+b)(a^3+b^3)=0$
$\Leftrightarrow 2a^2b^2-ab^3-a^3b=0$
$\Leftrightarrow -ab(a-b)^2=0$
Vì $a,b\neq 0\Rightarrow ab\neq 0$
$\Rightarrow (a-b)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow |a|=|b|(2)$
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
mk giải tắt thôi, k bt có đúng k nữa
\(a\left(a-x\right)^2+b\left(b-x\right)^2\left(1\right)\)
\(=\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+a^3+b^3\)
+) \(a+b=0\Rightarrow pt\left(1\right)\)có một nghiệm\(\Rightarrow|a|=|b|\)
+) \(a+b\ne0\)
Xét \(\Delta'=a^4+2a^2b^2+b^4-a^4-ab^3-a^3b-b^4\)
\(=2a^2b^2-ab^3-a^3b=ab\left(a-b\right)^2\)
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : \(\Delta'=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow|a|=|b|\)
a(x-a)2 + b(x-b)2 = 0
<=> (a + b)x2 - (2a2 + 2b2)x + a3 + b3 = 0
Xét a + b = 0
<=> a = - b thì phương trình trở thành
0 = 0 (đúng)
Xét a \(\ne\)- b
Để có nghiệm duy nhất thì
∆ = (a2 + b2)2 - (a + b)(a3 + b3) = 0
<=> ab(a - b)2 = 0
<=> a = b
Vậy |a| = |b|