Question

[Anh Mai]

Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M và N(M nằm giữa A và N).vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD,MNE,BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF.Chúng minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của các điểm M,N trên các đoạn thẳng AB.
 

Answer 1

[Hồ Thành Tiến]

Gọi P, Q, R, S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ D, E, F, G xuống AB Do ADM, MEN, NEB, AKB là các tam giác đều nên có: DP=3√2AMDP=32AM; EQ=3√2MNEQ=32MN; FR=3√2NBFR=32NB; KH=3√2ABKH=32AB \Rightarrow DP+EQ+FR=3√2(AM+MN+NB)=3√2AB=KHDP+EQ+FR=32(AM+MN+NB)=32AB=KH Mà GS=13(DP+EQ+FR)GS=13(DP+EQ+FR) \Rightarrow GS=13KHGS=13KH \Rightarrow điều phải cm