Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt: \(x_1=\sqrt{a^2}\)
\(x_2=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2}}\)
\(x_3=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\sqrt{a^2}}}\)
...
\(x_n=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}}\) ( n dấu căn )
Ta có: \(a\ne0\Rightarrow0< x_1< x_2< x_3< ...< x_{n-1}< x_n\)
Từ: \(x_n=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}}\Rightarrow x_n^2=a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}\) (n-1 dấu căn ) \(=a^2+x_{n-1}\)
\(\Rightarrow x_n^2-a^2=x_{n-1}< x_n\Rightarrow x_n^2-a^2< x_n\Rightarrow x_n^2-x_n-a^2< 0\)
\(\Rightarrow\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-a^2< 0\Rightarrow\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2< \frac{1+4a^2}{4}\Rightarrow x_n< \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{1+4a^2}}{2}\) (1)
Ta cần chứng minh: \(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{1+4a^2}}{2}< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\) (2)
Thật vậy, ta có: \(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+4a^2}}{2}< \frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{1+4a^2}< \sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\)
\(\Leftrightarrow16\left(1+4a^2\right)< 10+32a^2+2\sqrt{\left(1+16a^2\right)\left(9+16a^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow32a^2+6< 2\sqrt{\left(1+16a^2\right)\left(9+16a^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow16a^2+3< \sqrt{\left(1+16a^2\right)\left(9+16a^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow256a^4+96a^2+9< 9+160a^2+256a^4\)
\(\Leftrightarrow-64a^2< 0\) ( luôn đúng với mọi a khác 0)
=> Bất đẳng thức (2) đúng
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow x_n< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a}}}< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)
Ngọc bổ sung một cách khác nhé :))
Ta xét vế trái, vì dễ thấy \(\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}}\) (n dấu căn) \(< \sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...}}}\)(vô hạn dấu căn)
Ta đặt \(\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...}}}=t,t\ge0\)
\(\Rightarrow t^2=t+a^2\Rightarrow t^2-t-a^2=0\)
Ta đưa phương trình trên về phương trình bậc hai ẩn t , khi đó \(\Delta=1+4a^2>0\Rightarrow t=\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}\) (vì \(t\ge0\))
Do vậy ta chỉ cần chứng minh \(\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{1+4a^2}< \sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\)
\(\Leftrightarrow16\left(1+4a^2\right)< 32a^2+10+2\sqrt{1+16a^2}.\sqrt{9+16a^2}\)
\(\Leftrightarrow16a^2+3< \sqrt{1+16a^2}.\sqrt{9+16a^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(16a^2+3\right)^2< \left(16a^2+1\right)\left(16a^2+9\right)\)
\(\Leftrightarrow16^2a^4+96a^2+9< 16^2a^4+160a^2+9\)
\(\Leftrightarrow0< 64a^2\) (luôn đúng với \(a\ne0\))
Vậy ta có đpcm.
\(2a=1-\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}=1-2a\Rightarrow2=4a^2-4a+1\Rightarrow a^2-a=\dfrac{1}{4}\)
\(16a^8=16a^6\left(a^2-a\right)+16a^7=16a^7+4a^6=16a^5\left(a^2-a\right)+20a^6=20a^6+4a^5\)
\(=20a^4\left(a^2-a\right)+24a^5=24a^5+5a^4=24a^3\left(a^2-a\right)+29a^4\)
\(=29a^4+6a^3=29a^2\left(a^2-a\right)+35a^3=35a^3+\dfrac{29}{4}a^2\)
\(=35a\left(a^2-a\right)+\dfrac{169}{4}a^2=\dfrac{169}{4}a^2+\dfrac{35}{4}a=\dfrac{169}{4}\left(a^2-a\right)+51a=\dfrac{169}{16}+51a\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{169}{16}+51a-51a}=\dfrac{13}{4}\)
2/
Với \(a\in Z^+\) , ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{2\sqrt{a}}< \dfrac{2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a}}=2\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=18\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\left(1\right)\)
Giả sử tất cả các số tự nhiên \(a_k\left(k=1...100\right)\) đều khác nhau và \(a_k\ne0\), không làm mất tính tổng quát, giả sử \(1\le a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{100}\ge100\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}\\\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\...\\\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{100}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}< 19\)
Mâu thuẫn với \(\left(1\right)\Rightarrow\) điều giả sử là sai.
Vậy phải tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
Câu b : Ta có :
\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b+\dfrac{1}{4}\right)\right]\)
Áp dụng BĐT Cô - Si ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\a+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a}\\b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=-\dfrac{1}{4}\)
Lời giải:
$\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}=2.45^0=90^0$
Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên $OA=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$
Chu vi hình tròn $(O)$:
$2\pi OA=a\sqrt{2}\pi$
Độ dài cung nhỏ AB: $a\sqrt{2}\pi.\frac{90^0}{360^0}=\frac{a\sqrt{2}\pi}{4}$
Đáp án B.
Ta có:
\(16a^8-51a=\left(16a^8-16a^7-4a^6\right)+\left(16a^7-16a^6-4a^5\right)+\left(20a^6-20a^5-5a^4\right)+\left(24a^5-24a^4-6a^3\right)+\left(29a^4-29a^3-\frac{29}{4}a^2\right)+\left(35a^3-35a^2-\frac{35}{4}a\right)+\left(\frac{169}{4}a^2-\frac{169}{4}a-\frac{169}{16}\right)+\frac{169}{16}\)
\(=\frac{169}{16}\)
\(\sqrt{16a^8-51a}=\sqrt{\frac{169}{16}}=3,25>\pi\)
\(a=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow1-2a=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a-1=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{16a^8-51a}=\sqrt{\left(16a^8-16a^7-4a^6\right)+\left(-16a^7+16a^6+4a^5\right)+...+}\)
Làm nốt