\(A=\frac{10^{2016}+4}{21}-\frac{10^{2017}+5}{63}\)

\(A=\frac{3x\left(10^{2016}+4\right)}{63}-\frac{10^{2017}+5}{63}\)

\(A=\frac{3x10^{2016}+12}{63}-\frac{10^{2017}+5}{63}\)

\(A=\frac{\left(3x10^{2016}+12\right)-\left(10^{2017}+5\right)}{63}\)

\(A=\frac{3x10^{2016}+12-10^{2017}-5}{63}\)

\(A=\frac{\left(3x10^{2016}-10^{2017}\right)+7}{63}\)

\(A=\frac{10^{2016}x\left(3-10\right)+7}{63}\)

\(A=\frac{10^{2016}x\left(-7\right)+7}{63}\)

\(A=\frac{-10^{2016}x7+7}{63}\)

\(A=\frac{7x\left(-10^{2016}+1\right)}{63}\)

\(A=\frac{7x\left(10^{2016}-1\right)}{63}\)

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9 mà 10²⁰¹⁶ có tổng các chữ số là 1

=> 10²⁰¹⁶ - 1 chia hết cho 9

=> 7 x (10²⁰¹⁶ - 1) chia hết cho 63

=> 7 x (10²⁰¹⁶ - 1) / 63 nguyên

=> A nguyên

Chứng tỏ A nguyên

Mình chịu dù mình cũng học lớp 6

Xét từ 1 đến 99:

     Chữ số 5 ở hàng đơn vị có: 10 số. (5;15;25...)

     Chữ số 5 ở hàng chục có : 10 số: (50;51; 52 ...) nhưng có số 55 đã đếm nên chỉ còn 9 số.

     Vậy từ 1 đến 99 có 19 số có ít nhất 1 chữ số 5.

Tương tự từ 100 đến 199; 200 -> 299; 300 -> 399; 400 -> 499 ta có:

Tổng cộng: 5*19 = 95 số có ít nhất 1 chữ số 5.

Cộng với số 500 ta có tổng là 96 số có ít nhất 1 chữ số 5.

Đ/S: 96 số.

55555666

Gọi d là ƯCLN( \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\), 2n+1) ( d thuộc N*)

Khi đó \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) chia hết cho d và  2n+1 chia hết cho d

<=> n(n+1) chia hết cho d và  2n+1 chia hết cho d

<=> n² + n chia hết cho d và n(2n+1) chia hết cho d

<=> n²+n chia hết cho d, 2n²+n chia hết cho d

=> (2n²+n) - (n²+n) chia hết cho d

=> n² chia hết cho d

Mà n²+n chia hết cho d => (n²+n)-n² chia hết cho d 

=> n chia hết cho d

=> 2n chia hết cho d

Mà 2n+1 chia hết cho d

=> (2n+1)-2n chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d \(\in\) N => d=1

Vậy \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và 2n+1 nguyên tố cùng nhau với mọi n \(\in\) N

Gọi d = ƯCLN( n(n+1)/2, 2n+1) ( d thuộc N*)

=> n(n+1)/2 chia hết cho d, 2n+1 chia hết cho d

=> n(n+1) chia hết cho d, 2n+1 chia hết cho d

=> n²+n chia hết cho d, n(2n+1) chia hết cho d

=> n²+n chia hết cho d, 2n²+n chia hết cho d

=> (2n²+n) - (n²+n) chia hết cho d

=> 2n²+n-n²-n chia hết cho d

=> n² chia hết cho d

Mà n²+n chia hết cho d => (n²+n)-n² chia hết cho d 

=> n chia hết cho d

=> 2n chia hết cho d

Mà 2n+1 chia hết cho d => (2n+1)-2n chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N => d=1

=> ƯCLN( n(n+1)/2, 2n+1)=1

Chứng tỏ n(n+1)/2 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau với mọi n thuộc N

Gọi số cần tìm là a và thương là b

Khi đó ta có:

=> a : 69 = b (dư b)

=> a : b = 69 (dư b)

Nhưng số dư lại bằng số chia nên nó không dư, thương tăng lên 1:

=> a : b = 69 + 1

=> a : b = 70

Vậy A là số lớn nhất chia hết cho 70

=> A = 980

Ta thử lại: 980 : 69 = 14 (dư 14)

Đáp số: 980 

Gọi số đó là a, thương là b, ta có:

a : 69 = b (dư b)

a : b = 69 (dư b)

Nhưng số dư lại bằng số chia nên nó không dư, thương tăng lên 1:

a : b = 69 + 1

a : b = 70

Vậy A là số lớn nhất chia hết cho 70

A = 980

Thử lại: 980 : 69 = 14 (dư 14)

Đáp số: 980

7 em 

k minh nha

Có 7 em làm đúng hoàn toàn bài kiểm tra

VÌ NÓ CHIA HẾT CHO 3

tổng các chữ số của số trên là 

2x2001+3x2003=10011 chia hết cho 3

=>số trên chia hết cho 3

Mà số trên lớn hơn 3

=>số trên là hợp số đpcm

Từ đầu bài suy ra:

\(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x+y+y+z+z+x=\frac{13}{12}\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+2z=\frac{13}{12}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)=\frac{13}{12}\)

\(\Rightarrow x+y+z=\frac{13}{12}:2=\frac{13}{24}\)

\(\Rightarrow x=\frac{13}{24}-\frac{1}{3}=\frac{5}{24}\)

\(y=\frac{13}{24}-\frac{1}{4}=\frac{7}{24}\)

\(z=\frac{13}{24}-\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\)

Vậy...

x+y=1/2;y+z=1/3;z+x=1/4

=>2.(x+y+z)=1/2+1/3+1/4=13/12

x+y=1/2=>z=13/12-1/2=7/12

y+z=1/3=>x=13/12-1/3=3/4

z+x=1/4=>y=13/12-1/4=5/6

Mọi người cứ làm từng câu một, vậy tui làm cả 2 câu nhé!

Câu 1:

p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+2

=>p+4=3k+2+4=3k+6 (loại vì p+4 cũng là số nguyên tố)

=>p=3k+1

=>p+8=3k+1+8=3k+9 là hợp số (đpcm)

Câu 2:

Ta có: abcabc=abc.1001=abc.7.11.13

Vì 7;11;13 là 3 số nguyên tố nên abcabc chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố (đpcm)

Giả sử p là 1 số nguyên tố >3, do p không chia hết cho 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 nhưng do p +4 là số nguyên tố nên p không thể có dạng 3k + 2 vậy p có dạng 3k +1. Vậy p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên nó là hợp số. 

Gọi số kg giấy vụn mỗi lớp nhặt được là a(kg)

Lớp 6A : mỗi bạn đều thu được 11 kg , chỉ có 1 bạn thu 26 kg

=> a - 26 chia hết cho 11

Lớp 6B: mỗi bạn thu được 10 kg còn 1 bạn thu 25 kg

=> a - 25 chia hết cho 10

=> a có tận cùng là 5 => a \(\in\){205; 215; 225; ..; 295}

a - 26 chia hết cho 11 => có a = 235 thỏa mãn

Vậy ...

Hai bài toán rất hay và lạ! Xin cảm ơn bạn Tuấn Minh.

Và mình không hiểu người post cái bài dài dài kia (bạn Thành - sau mà đổi tên là không biết tên gì nốt) nói gì luôn. @@@.

1./ Tìm các số nguyên dương x;y;z sao cho: \(\hept{\begin{cases}x+3=2^y\left(1\right)\\3x+1=4^z\left(2\right)\end{cases}}\)

• Ta thấy y=0; 1 không phải là nghiệm của bài toán.
• Với y =2 thì x=1; z=1 là 1 nghiệm của bài toán.
• Với y>=3 thì:
• Từ (2) suy ra: \(3x=4^z-1=\left(4-1\right)\left(4^{z-1}+4^{z-2}+...+4^2+4+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x=4^{z-1}+4^{z-2}+...+4^2+4+1\)

• Thay vào (1) ta có:  \(\left(1\right)\Leftrightarrow4^{z-1}+4^{z-2}+...+4^2+4+1+3=2^y\)

\(\Leftrightarrow4^{z-1}+4^{z-2}+...+4^2+4+4=2^y\)

\(\Leftrightarrow8\cdot2\cdot4^{z-3}+8\cdot2\cdot4^{z-4}+...+8\cdot2\cdot4+8\cdot2+8=2^y\)

\(\Leftrightarrow8\cdot\left(2\cdot4^{z-3}+2\cdot4^{z-4}+...+2\cdot4+2+1\right)=8\cdot2^{y-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(2\cdot4^{z-3}+2\cdot4^{z-4}+...+2\cdot4+2+1\right)=2^{y-3}\)

Ta thấy vế trái lẻ nên đạt được dấu bằng chỉ khi y=3; khi đó x=5 và z=2.

• Vậy bài toán có 2 bộ nghiệm nguyên là: \(\hept{\begin{cases}x=1;y=2;z=1\\x=5;y=3;z=2\end{cases}}\)

câu 1:

y=z=vô nghiệm