Câu 1 (1 điểm):

Yên Bái 2016 - 2017

Cho \(a,b\)  là hai số dương thỏa mãn điều kiện  \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\). Tìm GTLN của biểu thức

                                         \(Q=\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}+\frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\)

Đáp án:

- Theo giả thiết  \(a,b>0\)  nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được

                \(a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2\)

                                                 \(\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)\)

                                                 \(\Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}\),  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\))

- Tương tự                                   \(\frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}\)    ,    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\))

- Từ đó                                     \(Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}\)

- Giả thiết  \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\) tương đương với \(a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}\)(*)

- Do đó                                             \(Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

  - Mà      \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)    nên   \(\frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge2\)  (do giả thiết  \(a,b>0\) ).

- Vì vậy   \(Q\le\frac{2}{2^2}\) 

GTNN  là  \(\frac{1}{2}\) đạt khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=1\)


Câu 2 (1 điểm):

Bà rịa Vũng Tàu 2014 - 2015

Cho hai số dương  \(x,y\)  thay đổi nhưng có tích luôn bằng 3.  Tìm GTNN của biểu thức

                                    \(P=\frac{3}{x}+\frac{9}{y}-\frac{26}{3x+y}\)

 

Đáp án:

- Chú ý rằng  \(xy=3\) nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được 

                                            \(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}\ge2\sqrt{\frac{3}{x}.\frac{9}{y}}=6\) hay   \(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}\ge6\)

và         \(3x+y\ge2\sqrt{3xy}=6\Rightarrow\frac{26}{3x+y}\le\frac{26}{6}\)  hay    \(-\frac{26}{3x+y}\ge-\frac{13}{3}\)

- Từ đó         \(P\ge6-\frac{13}{3}\)  hay    \(P\ge\frac{5}{3}\).

GTNN là  \(\frac{5}{3}\) đạt khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}=\dfrac{9}{y}\\3x=y\\xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\)           


Câu 3 (1 điểm):

Vĩnh Phúc 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi có tổng luôn bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức

                         \(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)

 

Đáp án:

- Sử dụng giả thiết  \(a+b+c=1\) ta biến đổi và ước lượng các số hạng của \(P\) (bằng cách dùng Cô si )  như sau:

                              \(c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

                    \(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=ab.\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le ab.\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

- Tương tự      \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)  và    \(\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{ca}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)\)

- Từ đó      \(P\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)+\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ca}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)\)

                 \(P\le\frac{1}{a+b}\left(\frac{ac+bc}{2}\right)+\frac{1}{b+c}\left(\frac{ba+ca}{2}\right)+\frac{1}{c+a}\left(\frac{cb+ca}{2}\right)\)

                  \(P\le\frac{a+b+c}{2}\)

                 \(P\le\frac{1}{2}\).

GTLN bằng  \(\frac{1}{2}\)  đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\) 


Câu 4 (1 điểm):

Tuyên Quang 2014 - 2015

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức    \(A=2x+\sqrt{5-x^2}\)

 

Đáp án:

- Tập xác định :   \(5-x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\le5\Leftrightarrow-\sqrt{5}\le x\le\sqrt{5}\).

- Theo Bunhiacopxki thì      \(A^2\le\left(4+1\right)\left(x^2+5-x^2\right)\Rightarrow A\le5\)

    Hơn nữa     \(A=5\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5-x^2}}{1}\Leftrightarrow x=2\). Vì vậy   GTLN = 5.

- Lại có   \(x\ge-\sqrt{5}\) và   \(\sqrt{5-x^2}\ge0\) nên   \(A\ge-2\sqrt{5}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=-\sqrt{5}\)

Vì vậy   GTNN \(=-2\sqrt{5}\)


Câu 5 (1 điểm):

Thái Bình 2015 - 2016

Cho ba số dương \(a,b,c\) thay đổi thỏa mãn   \(a^2+b^2+c^2=3\).

Tìm GTNN của biểu thức    \(P=2\left(a+b+c\right)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

 

Đáp án:

- Dễ chứng minh được  \(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}\) với mọi \(0< x< 2\) (chẳng hạn, nhận xét này tương đương với

      \(x^3-4x^2+5x-2\le0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-3x+2\right)\le0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-2\right)\le0\) , đúng ).

- Từ giả thiết    \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2< 4\Rightarrow0< a< 2\), tương tự \(0< b,c< 2\). Áp dụng nhận xét trên ta có

               \(P=2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{15}{2}=9\)

- Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=c=1\).

- Vậy      GTNN = 9.


Câu 6 (1 điểm):

Thái Bình 2014 - 2015

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện   \(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\).

Tìm GTNN của biểu thức    \(P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

 

Đáp án:

- Đặt   \(a=y+z+1,b=x+z+1,c=x+y+1\) thì  \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Ta tìm điều kiện đối với \(a,b,c\).

- Vì \(x,y,z>0\)nên \(a,b,c>0\). Hơn nữa, giả thiết 

         \(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\)\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\left(x+y+z\right)\le54\)  (*)

- Mà   \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (theo Bunhiacopxki) , nên  từ (*) suy ra

                           \(\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)\le54\)

- Đặt  \(t=x+y+z\) thì  \(t>0\)nên

                      \(t^2+3t-54\le0\Leftrightarrow\left(t+9\right)\left(t-6\right)\le0\Leftrightarrow t-6\le0\Leftrightarrow t\le6\)

- Vì vậy cần tìm GTNN của     \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) với điều kiện \(a,b,c>0\) và        

                                        \(a+b+c=2\left(x+y+z\right)+3=2t+3\le15\)

- Để đánh giá P cần khử hết các phân số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) và ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si cho cặp số \(\frac{1}{a}\) và \(ka\) mà dấu đẳng thức xảy ra khi  và chỉ khi \(a=b=c=5\), từ đó  \(k=\frac{1}{25}\).

Ta có     \(\frac{1}{a}+\frac{a}{25}\ge\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{1}{a}\ge\frac{2}{5}-\frac{a}{25}\) . Viết các bất đẳng thức tương tự đối với \(b,c\) rồi cộng lại ta được

                                         \(P\ge\frac{6}{5}-\frac{a+b+c}{25}\ge\frac{6}{5}-\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)  (vì   \(a+b+c\le15\) )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=5\Leftrightarrow x+y=y+z=z+x=4\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Vậy   GTNN là  \(\frac{3}{5}\).


Câu 7 (1 điểm):

Quảng Ninh 2015 -2016

Cho \(a,b\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện  \(2a+b\ge7\). Tìm GTNN của biểu thức

                                     \(P=a^2-a+3b+\frac{9}{a}+\frac{1}{b}+9\)

 

Đáp án:

Viết lại biểu thức đã cho dưới dạng    

                          \(P=\left(\frac{9}{a}+a\right)+\left(\frac{1}{b}+b\right)+\left(a-3\right)^2+2\left(2a+b\right)\)

Sử dụng bất đẳng thức Cô si và giả thiết ta có

                                                      \(P\ge6+2+2.7=22\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)    .

Vậy    GTNN = 22.


Câu 8 (1 điểm):

Quảng Ninh 2014 -2015

Choỏa mãn điều kiện    \(2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=4\).

Tìm GTLN của biểu thức   \(P=ab\)

Đáp án:

Ta có                   \(P=ab\le a^2+\frac{b^2}{4}\)

              và                     \(2\le a^2+\frac{1}{a^2}\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được      \(P+2\le2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=4\)

                                                                             \(\Rightarrow P\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2b\\a^2=1\\2a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)    hoặc   \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=-2\end{matrix}\right.\).

P có GTLN bằng 2.

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc