Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

Đề bài

Câu 1

Yên Bái 2016 - 2017

Cho \(a,b\)  là hai số dương thỏa mãn điều kiện  \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\). Tìm GTLN của biểu thức

                                         \(Q=\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}+\frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\)

Đáp án:

- Theo giả thiết  \(a,b>0\)  nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được

                \(a^4+b^2\ge2a^2b\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2a^2b+2ab^2\)

                                                 \(\Rightarrow a^4+2ab^2+b^2\ge2ab\left(a+b\right)\)

                                                 \(\Rightarrow\frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}\),  (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\))

- Tương tự                                   \(\frac{1}{a^2+2a^2b+b^4}\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}\)    ,    (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b\))

- Từ đó                                     \(Q\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)}\)

- Giả thiết  \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\) tương đương với \(a+b=2ab\Leftrightarrow ab=\frac{a+b}{2}\)(*)

- Do đó                                             \(Q\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

  - Mà      \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)    nên   \(\frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge2\)  (do giả thiết  \(a,b>0\) ).

- Vì vậy   \(Q\le\frac{2}{2^2}\) 

GTNN  là  \(\frac{1}{2}\) đạt khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=1\)

Câu 1

Bà rịa Vũng Tàu 2014 - 2015

Cho hai số dương  \(x,y\)  thay đổi nhưng có tích luôn bằng 3.  Tìm GTNN của biểu thức

                                    \(P=\frac{3}{x}+\frac{9}{y}-\frac{26}{3x+y}\)

 

Đáp án:

- Chú ý rằng  \(xy=3\) nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được 

                                            \(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}\ge2\sqrt{\frac{3}{x}.\frac{9}{y}}=6\) hay   \(\frac{3}{x}+\frac{9}{y}\ge6\)

và         \(3x+y\ge2\sqrt{3xy}=6\Rightarrow\frac{26}{3x+y}\le\frac{26}{6}\)  hay    \(-\frac{26}{3x+y}\ge-\frac{13}{3}\)

- Từ đó         \(P\ge6-\frac{13}{3}\)  hay    \(P\ge\frac{5}{3}\).

GTNN là  \(\frac{5}{3}\) đạt khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}=\dfrac{9}{y}\\3x=y\\xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\)           

Câu 1

Vĩnh Phúc 2014 - 2015

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thay đổi có tổng luôn bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức

                         \(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)

 

Đáp án:

- Sử dụng giả thiết  \(a+b+c=1\) ta biến đổi và ước lượng các số hạng của \(P\) (bằng cách dùng Cô si )  như sau:

                              \(c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

                    \(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=ab.\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le ab.\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

- Tương tự      \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)  và    \(\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{ca}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)\)

- Từ đó      \(P\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)+\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ca}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)\)

                 \(P\le\frac{1}{a+b}\left(\frac{ac+bc}{2}\right)+\frac{1}{b+c}\left(\frac{ba+ca}{2}\right)+\frac{1}{c+a}\left(\frac{cb+ca}{2}\right)\)

                  \(P\le\frac{a+b+c}{2}\)

                 \(P\le\frac{1}{2}\).

GTLN bằng  \(\frac{1}{2}\)  đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\) 

Câu 1

Tuyên Quang 2014 - 2015

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức    \(A=2x+\sqrt{5-x^2}\)

 

Đáp án:

- Tập xác định :   \(5-x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\le5\Leftrightarrow-\sqrt{5}\le x\le\sqrt{5}\).

- Theo Bunhiacopxki thì      \(A^2\le\left(4+1\right)\left(x^2+5-x^2\right)\Rightarrow A\le5\)

    Hơn nữa     \(A=5\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5-x^2}}{1}\Leftrightarrow x=2\). Vì vậy   GTLN = 5.

- Lại có   \(x\ge-\sqrt{5}\) và   \(\sqrt{5-x^2}\ge0\) nên   \(A\ge-2\sqrt{5}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(x=-\sqrt{5}\)

Vì vậy   GTNN \(=-2\sqrt{5}\)

Câu 1

Thái Bình 2015 - 2016

Cho ba số dương \(a,b,c\) thay đổi thỏa mãn   \(a^2+b^2+c^2=3\).

Tìm GTNN của biểu thức    \(P=2\left(a+b+c\right)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

 

Đáp án:

- Dễ chứng minh được  \(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}\) với mọi \(0< x< 2\) (chẳng hạn, nhận xét này tương đương với

      \(x^3-4x^2+5x-2\le0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-3x+2\right)\le0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-2\right)\le0\) , đúng ).

- Từ giả thiết    \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2< 4\Rightarrow0< a< 2\), tương tự \(0< b,c< 2\). Áp dụng nhận xét trên ta có

               \(P=2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{15}{2}=9\)

- Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   \(a=b=c=1\).

- Vậy      GTNN = 9.

Câu 1

Thái Bình 2014 - 2015

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện   \(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\).

Tìm GTNN của biểu thức    \(P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

 

Đáp án:

- Đặt   \(a=y+z+1,b=x+z+1,c=x+y+1\) thì  \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Ta tìm điều kiện đối với \(a,b,c\).

- Vì \(x,y,z>0\)nên \(a,b,c>0\). Hơn nữa, giả thiết 

         \(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\)\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\left(x+y+z\right)\le54\)  (*)

- Mà   \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (theo Bunhiacopxki) , nên  từ (*) suy ra

                           \(\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)\le54\)

- Đặt  \(t=x+y+z\) thì  \(t>0\)nên

                      \(t^2+3t-54\le0\Leftrightarrow\left(t+9\right)\left(t-6\right)\le0\Leftrightarrow t-6\le0\Leftrightarrow t\le6\)

- Vì vậy cần tìm GTNN của     \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) với điều kiện \(a,b,c>0\) và        

                                        \(a+b+c=2\left(x+y+z\right)+3=2t+3\le15\)

- Để đánh giá P cần khử hết các phân số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) và ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cô si cho cặp số \(\frac{1}{a}\) và \(ka\) mà dấu đẳng thức xảy ra khi  và chỉ khi \(a=b=c=5\), từ đó  \(k=\frac{1}{25}\).

Ta có     \(\frac{1}{a}+\frac{a}{25}\ge\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{1}{a}\ge\frac{2}{5}-\frac{a}{25}\) . Viết các bất đẳng thức tương tự đối với \(b,c\) rồi cộng lại ta được

                                         \(P\ge\frac{6}{5}-\frac{a+b+c}{25}\ge\frac{6}{5}-\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)  (vì   \(a+b+c\le15\) )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=5\Leftrightarrow x+y=y+z=z+x=4\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Vậy   GTNN là  \(\frac{3}{5}\).

Câu 1

Quảng Ninh 2015 -2016

Cho \(a,b\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện  \(2a+b\ge7\). Tìm GTNN của biểu thức

                                     \(P=a^2-a+3b+\frac{9}{a}+\frac{1}{b}+9\)

 

Đáp án:

Viết lại biểu thức đã cho dưới dạng    

                          \(P=\left(\frac{9}{a}+a\right)+\left(\frac{1}{b}+b\right)+\left(a-3\right)^2+2\left(2a+b\right)\)

Sử dụng bất đẳng thức Cô si và giả thiết ta có

                                                      \(P\ge6+2+2.7=22\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)    .

Vậy    GTNN = 22.

Câu 1

Quảng Ninh 2014 -2015

Choỏa mãn điều kiện    \(2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=4\).

Tìm GTLN của biểu thức   \(P=ab\)

Đáp án:

Ta có                   \(P=ab\le a^2+\frac{b^2}{4}\)

              và                     \(2\le a^2+\frac{1}{a^2}\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được      \(P+2\le2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=4\)

                                                                             \(\Rightarrow P\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2b\\a^2=1\\2a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)    hoặc   \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=-2\end{matrix}\right.\).

P có GTLN bằng 2.

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00