Câu 1 (1 điểm):

Thành phố Hồ Chí Minh 2013-2014

Cho phương trình   \(8x^2-8x+m^2+1=0\) ​ (*) (x là ẩn số

a) Định m để \(x=\dfrac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình (*) . 

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa điều kiện

                                               \(x^4_1-x^4_2=x^3_1-x^3_2\) .

 

Hướng dẫn giải:

a/ \(x=\dfrac{1}{2}\) là một nghiệm của (*) khi và chỉ khi 

                         \(8.\dfrac{1}{4}-8.\dfrac{1}{2}+m^2+1=0\Leftrightarrow m=\pm1\)

b/  \(\Delta'=16-8\left(m^2+1\right)=8\left(1-m^2\right)\ge0\Leftrightarrow m^2\le1\)

                   \(x^4_1-x^4_2=x^3_1-x^3_2\Leftrightarrow x^4_1-x^3_1=x^4_2-x^3_2\)

                                                     \(\Leftrightarrow-x^3_1\left(1-x_1\right)=-x^3_2\left(1-x_2\right)\) 

                                                    \(\Leftrightarrow-x^3_1x_2=-x^3_2x_1\)  (theo Viet  \(x_1+x_2=1\))

                                                     \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x^2_2-x^2_1\right)=0\)

                                                      \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=0\)

                                                      \(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+1}{8}\left(x_2-x_1\right).1=0\)

                                                       \(\Leftrightarrow x_1=x_2\)

                                                      \(\Leftrightarrow\Delta'=0\)

Đáp số: \(m=\pm1\)


Câu 2 (1 điểm):

Thành phố Hồ Chí Minh 2014-2015

Cho phương trình \(x^2-mx-1=0\)  (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1).

Tính giá trị của biểu thức

                   \(P=\dfrac{x_1^2+x_1-1}{x_1}+\dfrac{x_2^2+x_2-1}{x_2}\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) Vì \(ac=-1\) nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Vì \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình nên \(x^2_1=mx_1+1;x^2_2=mx_2+1\), do đó

                           \(P=\dfrac{mx_1+x_1}{x_1}-\dfrac{mx_2+x_2}{x_2}=0\)


Câu 3 (1 điểm):

Thành phố Hồ Chí Minh 2015-2016.

Cho phương trình \(x^2-mx+m-2=0\)  (1) (x là ẩn)

a)      Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b)      Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa mãn điều kiện

                                           \(\dfrac{x_1^2-2}{x_1-1}.\dfrac{x_2^2-2}{x_2-1}=4\) 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình có \(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0,\forall m\)nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Vì \(1^2-m.1+m-2=-1\ne0,\forall m\) nên số 1 không bao giờ là nghiệm của phương trình, do đó hai nghiệm x1, x2 của phương trình luôn thỏa mãn \(x_1\ne1,x_2\ne1\)

Hơn nữa  \(x_1^2-mx_1+m-2=0\Rightarrow x_1^2-2=m\left(x_1-1\right)\Rightarrow\dfrac{x_1^2-2}{x_1-1}=m\)

Do đó yêu cầu bài toán trở thành \(m.m=4\Leftrightarrow m=\pm2\)


Câu 4 (1 điểm):

Thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017

Cho phương trình  \(x^2-2mx+m-2=0\) ​  (1) (x là ẩn số)

a)      Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b)      Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn

                  \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) \(\Delta=4m^2-4\left(m-2\right)=\left(2m-1\right)^2+4>0,\forall m\)

b) Điều kiện có thể viết lại thành

                     \(4+x_1+x_2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\)

               \(\Leftrightarrow4+2m-2\left(m-2\right)=\left(2m\right)^2-2\left(m-2\right)+2\)

              \(\Leftrightarrow4m^2-2m-2=0\)

              \(\Leftrightarrow m=1;m=-\dfrac{1}{2}\)


Câu 5 (1 điểm):

Th​anh Hóa 2014-2015

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx -3 tham số m và Parabol

(P): y = x​2.

  1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0).
  2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x_1,x_2\) thỏa mãn  điều kiện   \(|x_1-x_2|=2.\)

Hướng dẫn giải:

  1. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0) khi có 0 = m.1-3, suy ra  m = 3
  2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là \(x^2-mx+3=0\) . Ta có Δ = m2 -12 nê​n (d) sẽ cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi  \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-12>0\)​ (1).    Điều kiện   \(|x_1-x_2|=2\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\) \(\Leftrightarrow\) \(m^2-12=4\Leftrightarrow m=\pm4\).

Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có:

Theo bài ra ta có

Vậy  là giá trị cần tìm.​

Câu 6 (1 điểm):

Thanh Hóa 2015-2016

Cho đường thẳng (d): \(y=x+m-1\) và parabol  (P): \(y=x^2\).

1) Tìm m để (d) đi qua điểm  A(0;1).

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện

                                \(4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0\)

 

Hướng dẫn giải:

​1) (d) đio qua A(0;1) khi tọa độ của A thỏa mãn phương trình của (d), tức là

               \(1=0+m-1\Leftrightarrow m=2.\)

2) Phương trình xác định hoành độ giao điểm:

                    \(x^2=x+m-1\Leftrightarrow x^2-x-m+1=0\)

Điều kiện có 2 giao điểm phân biệt là  \(\Delta=4m-3>0\)\(\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\).

 Điều kiện    \(4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0\)

                \(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}-x_1x_2+3=0\Leftrightarrow\dfrac{4.1}{-m+1}+\left(m-1\right)+3=0\)

                \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+3\left(m-1\right)-4=0\Leftrightarrow m-1=1;m-1=-4\)

                 \(\Leftrightarrow m=2;m=-3\)

Chỉ có m = 2 thỏa mãn điều kiện   \(m>\dfrac{3}{4}\). Đáp số: \(m=2\).


Câu 7 (1 điểm):

Thanh Hóa 2016-2017

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = 2x2.

1)      Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;3)

2)      Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). Hãy tính giá trị của biểu thức T = x1x2 + y1y2

 

Hướng dẫn giải:

​1) (d) đi qua A(1;3) khi và chỉ khi   \(3=m.1+1\Leftrightarrow m=2\)

2) Phương trình hoành độ giao điểm là  \(2x^2=mx+1\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\)luôn có 2 nghiệm phân biệt (trái dấu). Như vậy \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình trên và

             \(T=x_1x_2+y_1y_2=x_1x_2+\left(2x_1^2\right)\left(2x_2^2\right)=-\dfrac{1}{2}+4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)


Câu 8 (1 điểm):

Thái Bình 2015-2016

Cho phuơng trình x2 + 5x + m – 2 = 0 ( m là tham số)

   a) Giải phương trình khi m= -12.

   b) Tìm m để phuơng trình hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  

                                           \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\)

 

Hướng dẫn giải:

​b)   Theo Viet   \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=\dfrac{x_1+x_2-2}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=\dfrac{x_1+x_2-2}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)

                                                          \(=\dfrac{-5-2}{\left(m-2\right)+5+1}=-\dfrac{7}{m+4}\)

Do đó  \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\Leftrightarrow-\dfrac{7}{m+4}=2\Leftrightarrow m=-\dfrac{15}{2}\). Khi đó phương trình có  \(\Delta=25-4\left(-\dfrac{15}{2}-2\right)>0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đài toán.

Đáp số     \(m=-\dfrac{15}{2}\)


Câu 9 (1 điểm):

Thái Nguyên 2015-2016

Cho     x1;x2     là hai nghiệm của phương trình      x2+x-7=0 .  Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức ​        \(C=x_1\left(x_2+1\right)+x_2\left(x_1+1\right)\)

                       

Hướng dẫn giải:

​Theo Viet ta có   \(x_1+x_2=-1;x_1x_2=-7\) . Do đó

      \(C=2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=-14-1=-15\)


Câu 10 (1 điểm):

Thừa Thiên Huế 2014-2015

Cho hàm số \(y=ax^2\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = mx + m – 3

a)      Tìm a để đồ thị (P) đi qua điểm B(2; -2)

b)      Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C D với mọi giá trị của m.

c)      Gọi xC xD lần lượt là hoành độ của hai điểm C D. Tìm các giá trị của m sao cho

                                              \(x_C^2+x_D^2-2x_Cx_D=20\)

Hướng dẫn giải:

​a) (P) qua B(2;-2) khi và chỉ khi    \(-2=a.\left(2\right)^2\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm       \(-\dfrac{1}{2}x^2=mx+m-3\Leftrightarrow x^2+2mx+2m-6=0\)

                         \(\Delta'=\left(m-1\right)^2+5>0,\forall m\)

Đường thẳng (d) luôn cắt parabol tại 2 điểm phân biệt.

c) Theo Viet     \(x_C^2+x_2^2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-4\left(2m-6\right)\)

Do đó        \(x_C^2+x_D^2-2x_Cx_D=20\Leftrightarrow4m^2-4\left(2m-6\right)=20\)

                                                               \(\Leftrightarrow m^2-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\)


Câu 11 (1 điểm):

 Thừa Thiên Huế 2015 - 2016

Cho phương trình x2 + (m – 3)x – 2m – 1 = 0 (1),

     a)      Không sử dụng máy tính cầm tay. Giải phương trình (1) khi m = 1

    b)      Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c)      Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng tỏ rằng với mọi m nguyên biểu thức

                                  \(A=4x_1^2-x_1^2x_2^2+4x_2^2+x_1x_2\) 

    luôn chia hết cho 7 .

Hướng dẫn giải:

​b) \(\Delta=\left(m-3\right)^2+8m+4=\left(m+1\right)^2+12>0,\forall m\)

b)  \(A=4x_1^2-x_1^2x_2^2+4x_2^2+x_1x_2=4\left(x_1+x_2\right)^2-\left(x_1x_2\right)^2-7x_1x_2\)

\(=4\left(m-3\right)^2-\left(-2m-1\right)^2-7\left(-2m-1\right)=-28m+35-7\left(-2m-1\right)\)

luôn chia hết cho 7 với mọi m nguyên.


Câu 12 (1 điểm):

Trà Vinh 2015-2016

Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0  (1)

     1/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

     2/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức                                                            P = x1 + x2 + x1x2

Hướng dẫn giải:

​1)   \(\Delta'=2m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

2) Theo Viet     \(P=2\left(m+1\right)+m^2+3=\left(m+1\right)^2+4\)

               P có GTNN = 4 khi  \(m=-1\)

Link bài học:
Thảo luận
1

Bài 1: Căn thức và rút gọn biểu thức

 1. Bài giảng: Căn bậc hai

 2. Tài liệu: Căn bậc hai

 3. Căn bậc hai, căn bậc ba

 4. Rút gọn biểu thức - Cơ bản

 5. Rút gọn biểu thức - Nâng cao

 6. Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 7. Tài liệu: Căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức

 8. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

 9. Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 10. Phân tích đa thức thành nhân tử

 11. Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 12. Rút gọn biểu thức có chứa căn

2

Bài 2: Phương trình

 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 2. Tài liệu : Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 4. Tài liệu: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 5. Giải phương trình bậc nhất

 6. Giải phương trình bậc hai

 7. Phương trình quy về bậc hai

 8. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 9. Phương trình quy về phương trình bậc hai

 10. Phương trình vô tỷ

3

Bài 3: Hàm số

 1. Hàm số, Đồ thị

 2. Hàm số bậc nhất

 3. Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số

 4. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

 5. Xác định tham số để điểm thuộc đồ thị

 6. Vị trí tương đối của các đồ thị hàm số

 7. Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

 8. Một số bài tập tự luận

4

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

 4. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

 6. Một số bài tập tự luận

5

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

 1. Định lí Viet

 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 4. Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm của nó.

 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

 6. Các biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.

 7. Luyện tập chung

 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

 9. Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho

 10. Bắc Giang, Bắc Ninh, Bình Định, Bình Dương

 11. Cà Mau, Cần Thơ, Đắc Lắc, Đà Nẵng, Đồng Nai

 12. Hải Dương, Hà Nam, Hà Nội

 13. Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hưng Yên, Hải Phòng

 14. Khánh Hòa, Kiên Giang, Kon Tum, Lạng Sơn, Lào Cai, Long An

 15. Tp Hồ Chí Minh, Thanh Hóa, Thái Bình, Thái Nguyên, Thừa Thiên Huế, Trà Vinh

 16. Nam Định, Ninh Bình, Nghệ An

 17. Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng Ngãi

6

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 2. Tài liệu: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 3. Toán chuyển động

 4. Toán năng suất, số lượng

 5. Toán làm chung làm riêng

 6. Toán có nội dung hình học

 7. Toán về phần trăm

 8. Một số dạng toán khác

7

Bài 7: Bất đẳng thức

 1. Bất đẳng thức

 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh BĐT

 3. Bất đẳng thức Cô si (p.1)

 4. Bất đẳng thức Cô si (p.2)

 5. Bất đẳng thức Cô si (p3)

 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.1)

 7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (p.2)

 8. Thanh Hóa, Quảng Bình, Nghệ An, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hỏa Bình

 9. Bình Định, Hà Tĩnh, Hà Nội, Hà Nam, Hải Phòng, Bắc Giang

8

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN

 1. GTLN, GTBN của tam thức bậc hai

 2. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

 3. GTLN, GTNN (p1)

 4. GTLN,GTNN (p2)

 5. Yên Bái, Bà Rịa Vũng Tàu, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang, Thái Bình, Quảng Ninh

 6. Quảng Ngãi, Phú Thọ, Lạng Sơn, Hưng Yên, Hòa Bình, Hà Tĩnh, Ninh Bình, Bắc Ninh Thanh Hóa

 7. Bắc Giang, Hà Nam, Bà Rịa Vũng Tàu, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hải Phòng, Đăc Lắc