Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài 5: Định lí Vi-et và ứng dụng

Đề bài

Câu 1

Thành phố Hồ Chí Minh 2013-2014

Cho phương trình   \(8x^2-8x+m^2+1=0\) ​ (*) (x là ẩn số

a) Định m để \(x=\dfrac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình (*) . 

b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa điều kiện

                                               \(x^4_1-x^4_2=x^3_1-x^3_2\) .

 

Hướng dẫn giải:

a/ \(x=\dfrac{1}{2}\) là một nghiệm của (*) khi và chỉ khi 

                         \(8.\dfrac{1}{4}-8.\dfrac{1}{2}+m^2+1=0\Leftrightarrow m=\pm1\)

b/  \(\Delta'=16-8\left(m^2+1\right)=8\left(1-m^2\right)\ge0\Leftrightarrow m^2\le1\)

                   \(x^4_1-x^4_2=x^3_1-x^3_2\Leftrightarrow x^4_1-x^3_1=x^4_2-x^3_2\)

                                                     \(\Leftrightarrow-x^3_1\left(1-x_1\right)=-x^3_2\left(1-x_2\right)\) 

                                                    \(\Leftrightarrow-x^3_1x_2=-x^3_2x_1\)  (theo Viet  \(x_1+x_2=1\))

                                                     \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x^2_2-x^2_1\right)=0\)

                                                      \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=0\)

                                                      \(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+1}{8}\left(x_2-x_1\right).1=0\)

                                                       \(\Leftrightarrow x_1=x_2\)

                                                      \(\Leftrightarrow\Delta'=0\)

Đáp số: \(m=\pm1\)

Câu 1

Thành phố Hồ Chí Minh 2014-2015

Cho phương trình \(x^2-mx-1=0\)  (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1).

Tính giá trị của biểu thức

                   \(P=\dfrac{x_1^2+x_1-1}{x_1}+\dfrac{x_2^2+x_2-1}{x_2}\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) Vì \(ac=-1\) nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Vì \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình nên \(x^2_1=mx_1+1;x^2_2=mx_2+1\), do đó

                           \(P=\dfrac{mx_1+x_1}{x_1}-\dfrac{mx_2+x_2}{x_2}=0\)

Câu 1

Thành phố Hồ Chí Minh 2015-2016.

Cho phương trình \(x^2-mx+m-2=0\)  (1) (x là ẩn)

a)      Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b)      Định m để hai nghiệm x1, x2 của (1) thỏa mãn điều kiện

                                           \(\dfrac{x_1^2-2}{x_1-1}.\dfrac{x_2^2-2}{x_2-1}=4\) 

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình có \(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0,\forall m\)nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Vì \(1^2-m.1+m-2=-1\ne0,\forall m\) nên số 1 không bao giờ là nghiệm của phương trình, do đó hai nghiệm x1, x2 của phương trình luôn thỏa mãn \(x_1\ne1,x_2\ne1\)

Hơn nữa  \(x_1^2-mx_1+m-2=0\Rightarrow x_1^2-2=m\left(x_1-1\right)\Rightarrow\dfrac{x_1^2-2}{x_1-1}=m\)

Do đó yêu cầu bài toán trở thành \(m.m=4\Leftrightarrow m=\pm2\)

Câu 1

Thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017

Cho phương trình  \(x^2-2mx+m-2=0\) ​  (1) (x là ẩn số)

a)      Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b)      Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn

                  \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)

 

Hướng dẫn giải:

​a) \(\Delta=4m^2-4\left(m-2\right)=\left(2m-1\right)^2+4>0,\forall m\)

b) Điều kiện có thể viết lại thành

                     \(4+x_1+x_2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\)

               \(\Leftrightarrow4+2m-2\left(m-2\right)=\left(2m\right)^2-2\left(m-2\right)+2\)

              \(\Leftrightarrow4m^2-2m-2=0\)

              \(\Leftrightarrow m=1;m=-\dfrac{1}{2}\)

Câu 1

Th​anh Hóa 2014-2015

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx -3 tham số m và Parabol

(P): y = x​2.

  1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0).
  2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x_1,x_2\) thỏa mãn  điều kiện   \(|x_1-x_2|=2.\)

Hướng dẫn giải:

  1. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0) khi có 0 = m.1-3, suy ra  m = 3
  2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là \(x^2-mx+3=0\) . Ta có Δ = m2 -12 nê​n (d) sẽ cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi  \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-12>0\)​ (1).    Điều kiện   \(|x_1-x_2|=2\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\) \(\Leftrightarrow\) \(m^2-12=4\Leftrightarrow m=\pm4\).

Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có:

Theo bài ra ta có

Vậy  là giá trị cần tìm.​

Câu 1

Thanh Hóa 2015-2016

Cho đường thẳng (d): \(y=x+m-1\) và parabol  (P): \(y=x^2\).

1) Tìm m để (d) đi qua điểm  A(0;1).

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện

                                \(4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0\)

 

Hướng dẫn giải:

​1) (d) đio qua A(0;1) khi tọa độ của A thỏa mãn phương trình của (d), tức là

               \(1=0+m-1\Leftrightarrow m=2.\)

2) Phương trình xác định hoành độ giao điểm:

                    \(x^2=x+m-1\Leftrightarrow x^2-x-m+1=0\)

Điều kiện có 2 giao điểm phân biệt là  \(\Delta=4m-3>0\)\(\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\).

 Điều kiện    \(4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0\)

                \(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}-x_1x_2+3=0\Leftrightarrow\dfrac{4.1}{-m+1}+\left(m-1\right)+3=0\)

                \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+3\left(m-1\right)-4=0\Leftrightarrow m-1=1;m-1=-4\)

                 \(\Leftrightarrow m=2;m=-3\)

Chỉ có m = 2 thỏa mãn điều kiện   \(m>\dfrac{3}{4}\). Đáp số: \(m=2\).

Câu 1

Thanh Hóa 2016-2017

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = 2x2.

1)      Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;3)

2)      Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). Hãy tính giá trị của biểu thức T = x1x2 + y1y2

 

Hướng dẫn giải:

​1) (d) đi qua A(1;3) khi và chỉ khi   \(3=m.1+1\Leftrightarrow m=2\)

2) Phương trình hoành độ giao điểm là  \(2x^2=mx+1\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\)luôn có 2 nghiệm phân biệt (trái dấu). Như vậy \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình trên và

             \(T=x_1x_2+y_1y_2=x_1x_2+\left(2x_1^2\right)\left(2x_2^2\right)=-\dfrac{1}{2}+4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

Câu 1

Thái Bình 2015-2016

Cho phuơng trình x2 + 5x + m – 2 = 0 ( m là tham số)

   a) Giải phương trình khi m= -12.

   b) Tìm m để phuơng trình hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  

                                           \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\)

 

Hướng dẫn giải:

​b)   Theo Viet   \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=\dfrac{x_1+x_2-2}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=\dfrac{x_1+x_2-2}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)

                                                          \(=\dfrac{-5-2}{\left(m-2\right)+5+1}=-\dfrac{7}{m+4}\)

Do đó  \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\Leftrightarrow-\dfrac{7}{m+4}=2\Leftrightarrow m=-\dfrac{15}{2}\). Khi đó phương trình có  \(\Delta=25-4\left(-\dfrac{15}{2}-2\right)>0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đài toán.

Đáp số     \(m=-\dfrac{15}{2}\)

Câu 1

Thái Nguyên 2015-2016

Cho     x1;x2     là hai nghiệm của phương trình      x2+x-7=0 .  Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức ​        \(C=x_1\left(x_2+1\right)+x_2\left(x_1+1\right)\)

                       

Hướng dẫn giải:

​Theo Viet ta có   \(x_1+x_2=-1;x_1x_2=-7\) . Do đó

      \(C=2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=-14-1=-15\)

Câu 1

Thừa Thiên Huế 2014-2015

Cho hàm số \(y=ax^2\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = mx + m – 3

a)      Tìm a để đồ thị (P) đi qua điểm B(2; -2)

b)      Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C D với mọi giá trị của m.

c)      Gọi xC xD lần lượt là hoành độ của hai điểm C D. Tìm các giá trị của m sao cho

                                              \(x_C^2+x_D^2-2x_Cx_D=20\)

Hướng dẫn giải:

​a) (P) qua B(2;-2) khi và chỉ khi    \(-2=a.\left(2\right)^2\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm       \(-\dfrac{1}{2}x^2=mx+m-3\Leftrightarrow x^2+2mx+2m-6=0\)

                         \(\Delta'=\left(m-1\right)^2+5>0,\forall m\)

Đường thẳng (d) luôn cắt parabol tại 2 điểm phân biệt.

c) Theo Viet     \(x_C^2+x_2^2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-4\left(2m-6\right)\)

Do đó        \(x_C^2+x_D^2-2x_Cx_D=20\Leftrightarrow4m^2-4\left(2m-6\right)=20\)

                                                               \(\Leftrightarrow m^2-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\)

Câu 1

 Thừa Thiên Huế 2015 - 2016

Cho phương trình x2 + (m – 3)x – 2m – 1 = 0 (1),

     a)      Không sử dụng máy tính cầm tay. Giải phương trình (1) khi m = 1

    b)      Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c)      Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng tỏ rằng với mọi m nguyên biểu thức

                                  \(A=4x_1^2-x_1^2x_2^2+4x_2^2+x_1x_2\) 

    luôn chia hết cho 7 .

Hướng dẫn giải:

​b) \(\Delta=\left(m-3\right)^2+8m+4=\left(m+1\right)^2+12>0,\forall m\)

b)  \(A=4x_1^2-x_1^2x_2^2+4x_2^2+x_1x_2=4\left(x_1+x_2\right)^2-\left(x_1x_2\right)^2-7x_1x_2\)

\(=4\left(m-3\right)^2-\left(-2m-1\right)^2-7\left(-2m-1\right)=-28m+35-7\left(-2m-1\right)\)

luôn chia hết cho 7 với mọi m nguyên.

Câu 1

Trà Vinh 2015-2016

Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0  (1)

     1/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

     2/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức                                                            P = x1 + x2 + x1x2

Hướng dẫn giải:

​1)   \(\Delta'=2m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

2) Theo Viet     \(P=2\left(m+1\right)+m^2+3=\left(m+1\right)^2+4\)

               P có GTNN = 4 khi  \(m=-1\)

Bài làm

Hãy đăng nhập để làm bài!

Đăng nhập

00:00:00
Hãy sử dụng trình duyệt Chrome để không bị lỗi trong quá trình học tâp